Resta de vectores

La resta de vectores es un concepto fundamental en matemáticas y física, especialmente en el estudio del álgebra vectorial y la mecánica. Al igual que la suma, la resta de vectores es una operación que nos permite combinar magnitudes vectoriales, pero en este caso se trata de encontrar la diferencia entre dos vectores. Esto puede tener aplicaciones prácticas en diversos campos como la ingeniería, la navegación, la robótica y muchas otras áreas donde se necesitan determinar desplazamientos, fuerzas o velocidades relativas.

Resta de vectores en el plano

En un sistema de coordenadas bidimensional, un vector se representa mediante sus componentes en los ejes $x$ e $y$ . La resta de vectores en el plano consiste en restar las componentes correspondientes de los vectores involucrados. Supongamos que tenemos dos vectores, $\overrightarrow{A}$ y $\overrightarrow{B}$ , donde $\overrightarrow{A} = (A_x, A_y)$ y $\overrightarrow{B} = (B_x, B_y)$ . La resta de estos vectores, $\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}$ , se realiza restando las componentes $x$ e $y$ de $\overrightarrow{B}$ de las componentes correspondientes de $\overrightarrow{A}$ . Esto se expresa como:

$\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} = (A_x - B_x, A_y - B_y)$

Este procedimiento nos proporciona un nuevo vector que representa la diferencia entre los dos vectores originales. Este concepto es esencial para resolver problemas donde se requiere determinar el cambio neto en alguna cantidad vectorial, como la posición o la velocidad.

Cómo se hace la resta de vectores

Para realizar la resta de vectores de manera algebraica, primero identificamos las componentes de cada vector. Luego, restamos las componentes del segundo vector de las del primer vector. Por ejemplo, si $\overrightarrow{A} = (3, 4)$ y $\overrightarrow{B} = (1, 2)$ , la resta de $\overrightarrow{A}$ y $\overrightarrow{B}$ sería:

$\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)$

Este resultado, $(2, 2)$ , es un vector que apunta desde el extremo del vector $\overrightarrow{B}$ hacia el extremo del vector $\overrightarrow{A}$ . Es importante realizar estas operaciones con precisión, ya que cualquier error en la resta de las componentes puede llevar a resultados incorrectos.

En situaciones más complejas, como en tres dimensiones o más, el principio sigue siendo el mismo. Para vectores $\overrightarrow{A} = (A_x, A_y)$ y $\overrightarrow{B} = (B_x, B_y)$ , la resta sería:

$\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} = (A_x - B_x, A_y - B_y)$

Esta operación se extiende a cualquier dimensión de espacio, siempre siguiendo la misma regla de restar componente por componente.

Métodos gráficos para restar vectores

La resta de vectores también puede realizarse gráficamente. Este método es útil para visualizar el resultado de la operación. Para restar dos vectores gráficamente, se invierte el vector que se va a restar (cambiando su dirección) y luego se suma al otro vector utilizando la regla del paralelogramo o del triángulo.

Primero, dibujamos el vector $\overrightarrow{A}$ en el plano. Luego, dibujamos el vector $\overrightarrow{B}$ invertido (es decir, el vector $-\overrightarrow{B}$ ), comenzando desde el extremo del vector $\overrightarrow{A}$ . El vector resultante, que va desde el origen del vector $\overrightarrow{A}$ hasta el extremo del vector $-\overrightarrow{B}$ , es el vector $\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}$ .

Otra manera de visualizar la resta de vectores es usando el método del triángulo. Dibujamos el vector $\overrightarrow{A}$ y, desde el extremo de $\overrightarrow{A}$ , dibujamos el vector $-\overrightarrow{B}$ . El vector que conecta el origen de $\overrightarrow{A}$ con el extremo de $-\overrightarrow{B}$ es el vector resultante $\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}$ .

Propiedades de la resta de vectores

La resta de vectores tiene varias propiedades importantes que son útiles en diversos contextos matemáticos y físicos. Algunas de las propiedades fundamentales incluyen:

Propiedad antisimétrica: La resta de vectores no es conmutativa, es decir, $\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}$ no es igual a $\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}$ . De hecho, $\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} = -(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A})$ .
Propiedad distributiva: La resta de vectores se distribuye sobre la suma de vectores. Por ejemplo, si tenemos tres vectores $\overrightarrow{A}$ , $\overrightarrow{B}$ , y $\overrightarrow{C}$ , entonces $\overrightarrow{A} - (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) = (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}) - \overrightarrow{C}$ .

Estas propiedades nos ayudan a manipular y simplificar expresiones vectoriales, facilitando la resolución de problemas complejos en geometría y física.

Ejercicios resueltos de resta de vectores

Ejercicio 1

Dado los vectores $\overrightarrow{A} = (5, 7)$ y $\overrightarrow{B} = (2, 3)$ , encuentra $\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}$ .

Solución:

$\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} = (5 - 2, 7 - 3) = (3, 4)$

Ejercicio 2

Dado los vectores $\overrightarrow{P} = (4, -1)$ y $\overrightarrow{Q} = (-3, 2)$ , encuentra $\overrightarrow{P} - \overrightarrow{Q}$ .

Solución:

$\overrightarrow{P} - \overrightarrow{Q} = (4 - (-3), -1 - 2) = (4 + 3, -1 - 2) = (7, -3)$

Ejercicio 3

Dibuja los vectores $\overrightarrow{C} = (1, 2)$ y $\overrightarrow{D} = (3, 1)$ y encuentra $\overrightarrow{C} - \overrightarrow{D}$ gráficamente.

Dibuja el vector $\overrightarrow{C} = (1, 2)$ . Luego, invierte el vector $\overrightarrow{D}$ a $\overrightarrow{-D} = (-3, -1)$ y colócalo al final de $\overrightarrow{C}$ . El vector resultante desde el origen de $\overrightarrow{C}$ hasta el extremo de $\overrightarrow{-D}$ será $\overrightarrow{C} - \overrightarrow{D}$ . Gráficamente, esto nos da el vector resultante $\overrightarrow{C} - \overrightarrow{D} = (-2, 1)$ .

resta vectores por el método grafico

Estos ejemplos ilustran tanto el procedimiento algebraico como gráfico de la resta de vectores y proporcionan una base sólida para entender y aplicar este concepto en diversas situaciones prácticas.

Resta de vectores