Combinación lineal de vectores

La combinación lineal de vectores es un concepto fundamental en el álgebra lineal y tiene aplicaciones vastas en diversas áreas de la matemática y la ciencia. Comprender cómo los vectores pueden combinarse linealmente es esencial para analizar sistemas de ecuaciones lineales, transformaciones geométricas y muchos otros fenómenos. Este artículo explorará detalladamente la definición de combinación lineal, su relación con la independencia lineal, la metodología para realizar combinaciones lineales, y proporcionará ejemplos resueltos para afianzar los conceptos.

Definición de combinación lineal de vectores

Una combinación lineal de vectores es una expresión formada al multiplicar cada vector por un escalar y luego sumar los resultados. Formalmente, si tenemos los vectores $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_n$ en un espacio vectorial, una combinación lineal de estos vectores se escribe como:

$\vec{w} = c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + \ldots + c_n \vec{v}_n$

donde $c_1, c_2, \ldots, c_n$ son escalares. Los escalares $c_i$ pueden ser cualquier número real (o complejo, dependiendo del contexto), y determinan el peso o la influencia de cada vector en la combinación.

La importancia de este concepto radica en su capacidad para generar nuevos vectores a partir de un conjunto dado. Por ejemplo, en el espacio euclidiano tridimensional ( $\mathbb{R}^3$ ), cualquier vector puede ser representado como una combinación lineal de los vectores base $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , y $\vec{k}$ .

Combinación lineal e independencia lineal

La independencia lineal de un conjunto de vectores está estrechamente relacionada con las combinaciones lineales. Un conjunto de vectores $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_n$ se dice que es linealmente independiente si la única combinación lineal que produce el vector cero es aquella en la que todos los coeficientes son cero:

$c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + \ldots + c_n \vec{v}_n = \vec{0} \quad \text{implica} \quad c_1 = c_2 = \ldots = c_n = 0$

Si existe alguna combinación no trivial (donde al menos uno de los coeficientes no es cero) que resulta en el vector cero, entonces los vectores son linealmente dependientes. La independencia lineal es crucial porque determina si un conjunto de vectores puede formar una base de un espacio vectorial, permitiendo una representación única de cada vector en el espacio.

La relación entre combinación lineal e independencia lineal también nos ayuda a entender conceptos como el rango de una matriz y la dimensión de un espacio vectorial. En términos prácticos, identificar conjuntos de vectores linealmente independientes es vital para resolver sistemas de ecuaciones lineales y para simplificar problemas en álgebra lineal.

Cómo hacer una combinación lineal de vectores

Para hacer una combinación lineal de vectores, se siguen estos pasos:

1. Identificar los vectores y escalares: Primero, identifica los vectores que deseas combinar y los escalares que utilizarás. Por ejemplo, si tienes los vectores $\vec{v}_1 = (1, 2)$ y $\vec{v}_2 = (3, 4)$ y los escalares $a = 2$ y $b = -1$ , esos serán tus elementos de trabajo.

2. Multiplicar por los escalares: Multiplica cada vector por su respectivo escalar. Continuando con el ejemplo, tendrías:

$2 \cdot \vec{v}_1 = 2 \cdot (1, 2) = (2, 4)$

$-1 \cdot \vec{v}_2 = -1 \cdot (3, 4) = (-3, -4)$

3. Sumar los resultados: Suma los vectores obtenidos en el paso anterior:

$(2, 4) + (-3, -4) = (2 - 3, 4 - 4) = (-1, 0)$

El resultado, $(-1, 0)$ , es una combinación lineal de $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$ con los escalares 2 y -1, respectivamente. Este proceso puede extenderse a cualquier número de vectores y dimensiones, aplicando los mismos principios.

Ejercicios Resueltos de Combinación Lineal de Vectores

Ejercicio 1

Consideremos los vectores $\vec{a} = (1, 0, 3)$ y $\vec{b} = (2, 1, -1)$ . Encuentra una combinación lineal de $\vec{a}$ y $\vec{b}$ que resulte en el vector $\vec{c} = (5, 2, 2)$ .

Buscamos escalares $x$ y $y$ tales que:

$x \vec{a} + y \vec{b} = \vec{c}$

$x (1, 0, 3) + y (2, 1, -1) = (5, 2, 2)$

Esto nos da el sistema de ecuaciones:

$x + 2y = 5$

$0x + y = 2$

$3x - y = 2$

Resolvemos el sistema de ecuaciones. De la segunda ecuación, tenemos $y = 2$ . Sustituyendo en la primera ecuación:

$x + 2(2) = 5$

$x + 4 = 5$

$x = 1$

Verificamos con la tercera ecuación:

$3(1) - 2 = 2$

$3 - 2 = 1$

Por lo tanto, la combinación lineal es:

$\vec{c} = 1 \vec{a} + 2 \vec{b}$

Ejercicio 2

Determine si los vectores $\vec{u} = (1, 2, 3)$ , $\vec{v} = (4, 5, 6)$ y $\vec{w} = (7, 8, 9)$ son linealmente independientes.

Para determinar si los vectores son linealmente independientes, configuramos la matriz con estos vectores como filas:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

Calculamos su determinante:

$\text{Det} = 1(5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2(4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3(4 \cdot 8 - 5 \cdot 7)$

$= 1(-3) - 2(-6) + 3(-3)$

$= -3 + 12 - 9$

$= 0$

El determinante es cero, lo que significa que los vectores son linealmente dependientes.

Ejercicio 3

Expresa al vector (5,2) como una combinación lineal de los vectores $\vec{a} = (1, 1)$ y $\vec{b} = (1, -2)$ .

Para expresar el vector $(5, 2)$ como una combinación lineal de los vectores $\vec{a} = (1, 1)$ y $\vec{b} = (1, -2)$ , buscamos los escalares $c_1$ y $c_2$ tales que:

$c_1 \vec{a} + c_2 \vec{b} = (5, 2)$

Descomponemos esto en un sistema de ecuaciones:

$c_1 (1, 1) + c_2 (1, -2) = (5, 2)$

Desglosando, obtenemos las ecuaciones:

$c_1 \cdot 1 + c_2 \cdot 1 = 5$

$c_1 \cdot 1 + c_2 \cdot (-2) = 2$

Esto se traduce en el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$c_1 + c_2 = 5$

$c_1 - 2c_2 = 2$

Resolvemos este sistema. Primero, de la primera ecuación, despejamos $c_1$ :

$c_1 = 5 - c_2$

Sustituimos $c_1$ en la segunda ecuación:

$(5 - c_2) - 2c_2 = 2$

$5 - c_2 - 2c_2 = 2$

$5 - 3c_2 = 2$

$-3c_2 = 2 - 5$

$-3c_2 = -3$

$c_2 = 1$

Ahora, sustituimos $c_2$ en la primera ecuación para encontrar $c_1$ :

$c_1 + 1 = 5$

$c_1 = 4$

Por lo tanto, los escalares son $c_1 = 4$ y $c_2 = 1$ . Esto significa que podemos expresar $(5, 2)$ como una combinación lineal de $\vec{a}$ y $\vec{b}$ de la siguiente manera:

$(5, 2) = 4 \vec{a} + 1 \vec{b}$

Verifiquemos la combinación lineal:

$4(1, 1) + 1(1, -2) = (4 \cdot 1 + 1 \cdot 1, 4 \cdot 1 + 1 \cdot (-2))$

$= (4 + 1, 4 - 2)$

$= (5, 2)$

La verificación es correcta, por lo que $(5, 2)$ se expresa como $4 \vec{a} + 1 \vec{b}$ .