Componentes de un vector: Composición y descomposición

En matemáticas y física, los vectores son herramientas fundamentales que permiten representar magnitudes que tienen dirección y sentido. Estos pueden describir desde el movimiento de un objeto hasta las fuerzas que actúan sobre él. Entender los componentes de un vector es esencial para analizar y resolver una variedad de problemas en estos campos. Este artículo se enfocará en desglosar detalladamente el concepto de componentes de un vector, cómo descomponer un vector en sus componentes rectangulares, y cómo realizar la composición y descomposición de vectores. Además, proporcionaremos ejercicios prácticos para reforzar estos conceptos.

Componentes rectangulares de un vector

Los componentes rectangulares de un vector son las proyecciones del vector en los ejes coordenados. Para un vector en el plano, estos ejes suelen ser los ejes $x$ e $y$ . Si tenemos un vector $\overrightarrow{v}$ con un punto de inicio en el origen $(0, 0)$ y un punto final en $(v_x, v_y)$ , entonces $v_x$ y $v_y$ son las componentes rectangulares del vector $\overrightarrow{v}$ .

Matemáticamente, un vector $\overrightarrow{v}$ se puede expresar como el par ordenado:

$\overrightarrow{v} = (v_x, v_y)$

Estas componentes representan cuánto se extiende el vector en las direcciones $x$ e $y$ . Por ejemplo, si un vector $\overrightarrow{v}$ tiene componentes $v_x = 3$ y $v_y = 4$ , entonces el vector se extiende 3 unidades en la dirección $x$ y 4 unidades en la dirección $y$ .

Componentes de un vector a partir de las coordenadas del origen y el extremo del vector

Para calcular las componentes de un vector en el plano cuando se conocen las coordenadas de su punto de origen y su punto de extremo, se debe seguir un proceso simple y directo. Supongamos que tenemos un vector $\overrightarrow{v}$ que se extiende desde el punto de origen $A(x_1, y_1)$ hasta el punto de extremo $B(x_2, y_2)$ .

Primero, identifiquemos las coordenadas de los puntos:
– Punto de origen $A(x_1, y_1)$
– Punto de extremo $B(x_2, y_2)$

Las componentes del vector $\overrightarrow{v}$ se calculan restando las coordenadas del origen de las coordenadas del extremo. Matemáticamente, esto se expresa como:

$\overrightarrow{v} = (v_x, v_y) = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$

Ejemplo 1

Supongamos que tenemos un vector $\overrightarrow{v}$ que va desde el punto $A(2, 3)$ hasta el punto $B(5, 7)$ . Para encontrar las componentes del vector $\overrightarrow{v}$ :

1. Coordenadas del punto de origen $A$ : $(2, 3)$
2. Coordenadas del punto de extremo $B$ : $(5, 7)$

Aplicamos la fórmula:

$v_x = x_2 - x_1 = 5 - 2 = 3$

$v_y = y_2 - y_1 = 7 - 3 = 4$

Por lo tanto, el vector $\overrightarrow{v}$ tiene las componentes $(3, 4)$ .

Ejemplo 2

Consideremos ahora un vector $\overrightarrow{u}$ que se extiende desde el punto $C(-1, 2)$ hasta el punto $D(3, -5)$ :

1. Coordenadas del punto de origen $C$ : $(-1, 2)$
2. Coordenadas del punto de extremo $D$ : $(3, -5)$

Aplicamos la fórmula:

$u_x = x_2 - x_1 = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4$

$u_y = y_2 - y_1 = -5 - 2 = -7$

Así, el vector $\overrightarrow{u}$ tiene las componentes $(4, -7)$ .

Ejemplo 3

Consideremos un vector $\overrightarrow{w}$ que va desde el punto $E(0, 0)$ hasta el punto $F(-4, -3)$ :

1. Coordenadas del punto de origen $E$ : $(0, 0)$
2. Coordenadas del punto de extremo $F$ : $(-4, -3)$

Aplicamos la fórmula:

$w_x = x_2 - x_1 = -4 - 0 = -4$

$w_y = y_2 - y_1 = -3 - 0 = -3$

Por lo tanto, el vector $\overrightarrow{w}$ tiene las componentes $(-4, -3)$ .

Composición y descomposición de vectores

Descomposición de vectores

La descomposición de un vector es el proceso de dividirlo en sus componentes. Este proceso es crucial cuando necesitamos analizar las fuerzas que actúan en diferentes direcciones o cuando necesitamos simplificar problemas complejos. Para descomponer un vector $\overrightarrow{v}$ en sus componentes rectangulares, se puede utilizar trigonometría si se conocen el ángulo $\theta$ del vector con respecto al eje $x$ y su magnitud $|\overrightarrow{v}|$ . Las fórmulas son:

$v_x = |\overrightarrow{v}| \cos(\theta)$

$v_y = |\overrightarrow{v}| \sin(\theta)$

Composición de vectores

La composición de vectores, por otro lado, es el proceso inverso donde combinamos los componentes de dos o más vectores para obtener un vector resultante. Si tenemos dos vectores $\overrightarrow{a} = (a_x, a_y)$ y $\overrightarrow{b} = (b_x, b_y)$ , su suma $\overrightarrow{R}$ es:

$\overrightarrow{R} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)$

Esta propiedad permite combinar fuerzas o movimientos en diferentes direcciones de manera sencilla y eficiente.

Ejercicios de composición y descomposición rectangular de vectores

Ejercicio 1: Composición de vectores

Dados los vectores $\overrightarrow{a} = (3, 4)$ y $\overrightarrow{b} = (1, 2)$ , encontrar el vector resultante $\overrightarrow{c}$ .

Solución:

$c_x = a_x + b_x = 3 + 1 = 4$

$c_y = a_y + b_y = 4 + 2 = 6$

Por lo tanto, el vector resultante es $\overrightarrow{c} = (4, 6)$ .

Ejercicio 2: Descomposición de un vector

Dado el vector $\overrightarrow{v}$ con magnitud 5 y que forma un ángulo de 30° con el eje $x$ , encontrar sus componentes rectangulares $v_x$ y $v_y$ .

Solución:

$v_x = |\overrightarrow{v}| \cos(30^\circ) = 5 \cos(30^\circ) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 4.33$

$v_y = |\overrightarrow{v}| \sin(30^\circ) = 5 \sin(30^\circ) = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5$

Por lo tanto, las componentes del vector son $v_x \approx 4.33$ y $v_y = 2.5$ .

Ejercicio 3: Composición de tres vectores

Dados los vectores $\overrightarrow{a} = (2, 1)$ , $\overrightarrow{b} = (-1, 3)$ , y $\overrightarrow{c} = (4, -2)$ , encontrar el vector resultante $\overrightarrow{d}$ .

Solución:

$d_x = a_x + b_x + c_x = 2 + (-1) + 4 = 5$

$d_y = a_y + b_y + c_y = 1 + 3 + (-2) = 2$

Por lo tanto, el vector resultante es $\overrightarrow{d} = (5, 2)$ .

Ejercicio 4: Descomposición de un vector en sus componentes

Dado el vector $\overrightarrow{u} = (7, 24)$ , verificar la magnitud y encontrar el ángulo que forma con el eje $x$ .

Solución:

$|\overrightarrow{u}| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$

$\theta = \arctan\left(\frac{24}{7}\right) \approx 73.74^\circ$

Por lo tanto, la magnitud del vector es 25 y forma un ángulo de aproximadamente 73.74° con el eje $x$ .

Ejercicio 5: Composición de vectores y verificación de ángulo

Dados los vectores $\overrightarrow{a} = (3, 4)$ y $\overrightarrow{b} = (4, 3)$ , encontrar el vector resultante y el ángulo que forma con el eje $x$ .

Solución:

$c_x = a_x + b_x = 3 + 4 = 7$

$c_y = a_y + b_y = 4 + 3 = 7$

El vector resultante es $\overrightarrow{c} = (7, 7)$ .

$|\overrightarrow{c}| = \sqrt{7^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} \approx 9.9$

$\theta = \arctan\left(\frac{7}{7}\right) = \arctan(1) = 45^\circ$

Por lo tanto, el vector resultante tiene una magnitud de aproximadamente 9.9 y forma un ángulo de 45° con el eje $x$ .