Vectores

En el estudio de las matemáticas y la física, los vectores juegan un papel crucial. No solo representan magnitudes físicas como la velocidad y la fuerza, sino que también son fundamentales en el análisis matemático de espacios multidimensionales. Los vectores permiten simplificar y resolver problemas complejos al ofrecer una forma estructurada y visual de entender las interacciones y relaciones entre diferentes magnitudes.

¿Qué es un vector? Definición matemática

Un vector es una entidad matemática que se caracteriza por tener tanto magnitud como dirección. Es utilizado para representar cantidades que poseen estas dos propiedades, diferenciándose así de las cantidades escalares, que solo tienen magnitud.

En el contexto del álgebra vectorial, un vector en el plano (bidimensional) puede ser definido como un par ordenado de números reales $(a, b)$ . Este par ordenado se refiere a las componentes del vector en las direcciones del eje $x$ y el eje $y$ respectivamente. Se denota comúnmente como $\overrightarrow{v} = (a, b)$ , donde a y b son las componentes del vector.

A diferencia de los escalares, que solo tienen magnitud, los vectores nos permiten representar y analizar fenómenos que tienen una dirección específica. Matemáticamente, un vector en un espacio n-dimensional se puede representar como un conjunto ordenado de n números, conocidos como componentes del vector.

Por ejemplo, en el espacio tridimensional, un vector $\overrightarrow{a}$ puede ser representado como $\overrightarrow{a} = (v_1, v_2, v_3)$ , donde $v_1$ , $v_2$ y $v_3$ son sus componentes en las direcciones (x), (y) y (z), respectivamente.

¿Para qué sirven los vectores?

Los vectores son esenciales en numerosas disciplinas. En física, se utilizan para describir cantidades que tienen tanto magnitud como dirección, como la velocidad, la aceleración y las fuerzas. En ingeniería, los vectores son fundamentales para el análisis estructural y dinámico. En matemáticas, los vectores forman la base del álgebra lineal y son cruciales para entender transformaciones y espacios vectoriales.

Además, los vectores son utilizados en informática para representar datos en múltiples dimensiones, como en el procesamiento de imágenes y gráficos por computadora. También son fundamentales en la optimización y el análisis numérico, donde se utilizan para resolver sistemas de ecuaciones lineales y problemas de programación lineal.

¿Cómo se representan los vectores?

Representación gráfica

Los vectores se representan gráficamente como flechas en un espacio coordenado. La longitud de la flecha indica la magnitud del vector, mientras que la dirección de la flecha indica la dirección del vector. De igual manera, un vector con origen en el punto A y extremo en el punto B se representa con una flecha que inicia en A y termina en B, indicando esto con la denotación $\overrightarrow{AB}$ .

Representación algebraica

Algebraicamente, un vector se representa mediante sus componentes. Por ejemplo, un vector en dos dimensiones $\overrightarrow{a}$ puede escribirse como $\overrightarrow{a} = (a_1, a_2)$ . En tres dimensiones, se escribiría como $\overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3)$ . Estos componentes corresponden a las proyecciones del vector en las direcciones de los ejes coordenados.

Partes o elementos de un vector

Módulo

El módulo de un vector, también conocido como su magnitud o longitud, es una medida de su tamaño. Matemáticamente, el módulo de un vector $\overrightarrow{v} = (v_1, v_2)$ se calcula usando la fórmula:

$|\overrightarrow{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 }$

Dirección

La dirección de un vector se refiere a la orientación de la flecha en el espacio. Esta se puede describir mediante un ángulo con respecto a un eje de referencia. En el espacio tridimensional, la dirección se puede especificar mediante dos ángulos, conocidos como ángulos de dirección.

Sentido

El sentido de un vector indica hacia qué lado de su línea de acción está dirigido. Por ejemplo, en un vector que representa una fuerza aplicada, el sentido indicará hacia dónde se aplica dicha fuerza.

Componentes de un vector

Las componentes de un vector son los valores que describen su proyección en cada uno de los ejes del sistema de coordenadas. Por ejemplo, para un vector $\overrightarrow{a} = (a_1, a_2)$ , $v_1$ y $v_2$ son sus componentes en las direcciones $x$ y $y$ respectivamente. Estas componentes son esenciales para realizar operaciones algebraicas con vectores.

En el caso de un vector con origen en el punto $A : (a_1, a_2)$ y extremo en el punto $B : (b_1, b_2)$ se obtienen restando una a una las coordenadas del extremo menos las del origen, las componentes del vector $\overrightarrow{AB}$ serían entonces:

$\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1, b_2-a_2)$

Clasificación o tipos de vectores

Vector nulo

El vector nulo es aquel cuya magnitud es cero. Todos sus componentes son cero, y se representa como $\overrightarrow{o} = (0, 0, 0)$ . Este vector no tiene dirección definida.

Vectores unitarios

Un vector unitario es aquel cuya magnitud es uno. Se utiliza para indicar dirección y se representa comúnmente con una letra u y un sombrero (circunflejo), por ejemplo, $\hat{\mathbf{u}}$ .

Vectores libres

Los vectores libres no están asociados a un punto de aplicación específico y se pueden mover paralelamente a sí mismos sin alterar sus propiedades.

Vectores deslizantes

Los vectores deslizantes pueden moverse a lo largo de su línea de acción sin cambiar su efecto. Son comunes en el análisis de fuerzas en cuerpos rígidos.

Vectores fijos o ligados

Los vectores fijos o ligados están asociados a un punto específico de aplicación. Su posición no puede cambiar sin alterar su naturaleza.

Relación entre vectores

Vectores concurrentes

Los vectores concurrentes son aquellos cuyas líneas de acción se cruzan en un punto común. Este punto es conocido como punto de concurrencia.

Vectores paralelos

Los vectores paralelos tienen la misma o exactamente opuesta dirección, pero pueden diferir en magnitud.

Vectores equipolentes

Los vectores equipolentes tienen la misma magnitud, dirección y sentido, aunque estén aplicados en puntos diferentes.

Vectores ortogonales

Los vectores ortogonales son aquellos que se encuentran a 90 grados entre sí. En términos matemáticos, su producto escalar es cero.

Vectores ortonormales

Un conjunto de vectores es ortonormal si todos son unitarios y mutuamente ortogonales. Esto es esencial en espacios vectoriales para la simplicidad de cálculos.

Nota que los vectores en la ilustración están representados por $\hat{\mathbf{i}}$ y $\hat{\mathbf{j}}$ que corresponden a dos vectores unitarios notables muy empleados en el algebra de vectores en el plano llamados base ortonormal o base canónica de vectores.

Vectores opuestos

Dos vectores son opuestos si tienen la misma magnitud y dirección, pero sentidos contrarios. Por ejemplo, $\overrightarrow{a}$ y $-\overrightarrow{a}$ .

Vectores colineales

Los vectores colineales son aquellos que están a lo largo de la misma línea de acción.

Vectores coplanarios

Los vectores coplanarios se encuentran en el mismo plano. Este concepto es crucial en el análisis de fuerzas y movimientos bidimensionales.

Operaciones con Vectores

Suma o adición

La suma de vectores se realiza agregando sus componentes correspondientes. Si $\\overrightarrow{a} = (a_1, a_2)$ y $\overrightarrow{b} = (b_1, b_2)$ , entonces $\overrightarrow{a+b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$ .

Sustracción

La sustracción de vectores se realiza restando sus componentes correspondientes. Si $\overrightarrow{a} = \(a_1, a_2)$ y $\overrightarrow{b} = (b_1, b_2)$ , entonces $\overrightarrow{a-b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2)$ .

Producto de un escalar por un vector

El producto de un escalar por un vector se efectúa multiplicando el escalar por cada una de las componentes del vector, así:

$\alpha \cdot \vec{a} = (\alpha\cdot a_1, \alpha\cdot a_2)$

Geométricamente, la magnitud o norma varía en proporción al escalar $\alpha$ , por ejemplo, si el escalar es «2», la magnitud o norma aumenta el doble. Adicionalmente, el sentido del vector puede verse afectado si el signo del escalar es negativo.

Producto escalar

El producto escalar de dos vectores $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ es un número que se calcula como $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ . Este producto es útil para encontrar el ángulo entre dos vectores y para determinar si son ortogonales.

Vectores en el espacio

Los vectores en el espacio tridimensional se representan mediante tres componentes y se utilizan para describir fenómenos en 3D, como la física del movimiento y las fuerzas en estructuras tridimensionales. El análisis vectorial en tres dimensiones permite resolver problemas complejos de manera más clara y precisa.

En el caso de los vectores en el espacio, existe otra operación que se puede realizar entre ellos llamada producto vectorial o producto cruz

Producto Vectorial

El producto vectorial de dos vectores en el espacio tridimensional da como resultado un vector que es perpendicular a ambos vectores originales. Se calcula como:

$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$

Con una comprensión sólida de los conceptos y operaciones vectoriales, se puede abordar una amplia gama de problemas en matemáticas, física e ingeniería de manera efectiva. Los vectores no solo simplifican los cálculos, sino que también proporcionan una forma visual e intuitiva de entender las interacciones entre diferentes magnitudes y fuerzas.