Vectores unitarios

Los vectores unitarios son una herramienta fundamental en la matemática y la física, ya que permiten simplificar y estandarizar la representación de direcciones en el espacio. Un vector unitario tiene una magnitud de exactamente uno y es útil para definir direcciones sin considerar la magnitud. En este artículo, exploraremos en profundidad los vectores unitarios, desde su definición y propiedades hasta sus aplicaciones y operaciones fundamentales. Además, proporcionaremos ejemplos y ejercicios resueltos para consolidar la comprensión de estos conceptos.

Definición de vectores unitarios

Un vector unitario es un vector que tiene una magnitud de exactamente uno. Matemáticamente, un vector $\vec{u}$ es unitario si cumple con la siguiente condición:

$|\vec{u}| = 1$

Esto significa que la longitud del vector es uno, independientemente de su dirección en el espacio. Los vectores unitarios se utilizan frecuentemente para representar direcciones puras, eliminando cualquier componente de escala.

Para obtener un vector unitario a partir de un vector arbitrario $\vec{v}$ , se debe dividir el vector por su magnitud. Este proceso se denomina «normalización» del vector:

$\vec{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

donde $|\vec{v}|$ es la magnitud del vector $\vec{v}$ . Así, el vector $\vec{u}$ tendrá la misma dirección que $\vec{v}$ , pero con una longitud de uno.

Propiedades de los vectores unitarios

Los vectores unitarios tienen varias propiedades útiles que los hacen importantes en muchas aplicaciones. En primer lugar, su magnitud es siempre uno, lo que los convierte en una referencia estándar para la dirección. Esta propiedad facilita el cálculo y la comparación de direcciones en diferentes contextos.

Otra propiedad importante es que cualquier vector no nulo puede ser convertido en un vector unitario a través del proceso de normalización. Esto significa que, sin importar la magnitud de un vector original, siempre podemos encontrar un vector unitario en la misma dirección. Esta característica es especialmente útil en aplicaciones como la computación gráfica y la física, donde las direcciones deben ser precisas y consistentes.

Además, los vectores unitarios conservan las operaciones vectoriales básicas, como la suma y el producto escalar, aunque con algunas simplificaciones debido a su magnitud constante. Por ejemplo, el producto escalar de dos vectores unitarios $\vec{u}$ y $\vec{v}$ se reduce a simplemente el coseno del ángulo entre ellos:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \cos(\theta)$

Vectores unitarios canónicos

En el espacio tridimensional, existen tres vectores unitarios canónicos que son especialmente importantes: $\vec{i}$ , $\vec{j}$ y $\vec{k}$ . Estos vectores representan las direcciones de los ejes $x$ , $y$ y $z$ respectivamente, y tienen las siguientes formas:

$\vec{i} = (1, 0, 0)$

$\vec{j} = (0, 1, 0)$

$\vec{k} = (0, 0, 1)$

Estos vectores unitarios canónicos forman la base del espacio tridimensional, y cualquier vector en $\mathbb{R}^3$ puede ser expresado como una combinación lineal de $\vec{i}$ , $\vec{j}$ y $\vec{k}$ . Esta propiedad es fundamental para muchas aplicaciones en física e ingeniería, donde se necesita descomponer vectores en sus componentes básicas.

Los vectores unitarios canónicos también son útiles en el cálculo y álgebra lineal, ya que facilitan la manipulación de vectores y matrices. Por ejemplo, al resolver sistemas de ecuaciones lineales, estos vectores proporcionan una referencia estándar para las direcciones en el espacio.

Operaciones con vectores unitarios

Suma de vectores unitarios

La suma de vectores unitarios se realiza de la misma manera que la suma de cualquier otro vector, sumando sus componentes correspondientes. Sin embargo, es importante notar que la suma de dos vectores unitarios no necesariamente resulta en otro vector unitario, ya que la magnitud del resultado puede ser diferente de uno.

Por ejemplo, si tenemos $\vec{u} = (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}, 0)$ y $\vec{v} = (1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2}, 0)$ , la suma es:

$\vec{u} + \vec{v} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 + 0\right) = (1, 0, 0)$

En este caso, el resultado es el vector unitario $\vec{i}$ .

Resta de vectores unitarios

La resta de vectores unitarios también se realiza restando sus componentes correspondientes. Similar a la suma, la resta de dos vectores unitarios no garantiza un vector unitario como resultado.

Por ejemplo, si $\vec{u} = (0, 1, 0)$ y $\vec{v} = (1, 0, 0)$ , la resta es:

$\vec{u} - \vec{v} = (0 - 1, 1 - 0, 0 - 0) = (-1, 1, 0)$

La magnitud del vector resultante $\vec{w} = (-1, 1, 0)$ no es uno, y para convertirlo en un vector unitario, debemos normalizarlo.

Producto cruz de vectores unitarios

El producto cruz (o producto vectorial) de dos vectores unitarios resulta en un vector perpendicular a ambos. Para dos vectores unitarios $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , el producto cruz $\vec{u} \times \vec{v}$ se calcula como:

$\vec{u} \times \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\sin(\theta)\vec{n}$

donde $\theta$ es el ángulo entre $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , y $\vec{n}$ es el vector unitario perpendicular a ambos. Si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son perpendiculares, $\sin(\theta) = 1$ , y el resultado es otro vector unitario.

Por ejemplo, $\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}$ .

Producto punto de vectores unitarios

El producto punto (o producto escalar) de dos vectores unitarios resulta en un escalar que representa el coseno del ángulo entre ellos. Para dos vectores unitarios $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , el producto punto $\vec{u} \cdot \vec{v}$ se calcula como:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\theta)$

Dado que $|\vec{u}| = |\vec{v}| = 1$ , el producto punto es simplemente $\cos(\theta)$ .

Por ejemplo, $\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$ porque $\vec{i}$ y $\vec{j}$ son perpendiculares y $\cos(90^\circ) = 0$ .

Cómo calcular vectores unitarios

Para calcular un vector unitario a partir de un vector arbitrario $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$ , se debe normalizar el vector. El proceso de normalización implica dividir cada componente del vector por su magnitud:

$\vec{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

$|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

$\vec{u} = \left(\frac{v_x}{|\vec{v}|}, \frac{v_y}{|\vec{v}|}, \frac{v_z}{|\vec{v}|}\right)$

Por ejemplo, para el vector $\vec{v} = (3, 4, 0)$ , primero calculamos su magnitud:

$|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Luego, dividimos cada componente por la magnitud:

$\vec{u} = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0\right)$

Vectores unitarios: ejercicios resueltos

Ejercicio 1: Suma de vectores unitarios

Dados los vectores unitarios $\vec{u} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)$ y $\vec{v } = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)$ , encuentra $\vec{u} + \vec{v}$ .