Ángulo entre dos vectores

El ángulo entre dos vectores es una medida crucial en el estudio de la geometría vectorial y tiene aplicaciones en diversas áreas como la física, la ingeniería y la informática. Entender cómo calcular y aplicar este ángulo nos permite resolver problemas relacionados con la dirección y la magnitud de fuerzas, desplazamientos y otros vectores en el plano y en el espacio.

Definición de ángulo entre dos vectores

El ángulo entre dos vectores $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ es el ángulo $\theta$ que se forma cuando los vectores se colocan de manera que sus orígenes coincidan. Este ángulo se mide a partir de la proyección de un vector sobre el otro y se utiliza para entender cómo los vectores se relacionan entre sí en términos de dirección.

Matemáticamente, el ángulo $\theta$ entre dos vectores se puede determinar utilizando el producto escalar (también conocido como producto punto). La fórmula general para el producto escalar en términos del ángulo es:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos(\theta)$

donde $|\overrightarrow{a}|$ y $|\overrightarrow{b}|$ son las magnitudes de los vectores $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ , respectivamente, y $\theta$ es el ángulo entre ellos.

Fórmulas para calcular el ángulo entre dos vectores

Para calcular el ángulo entre dos vectores, utilizamos la fórmula del producto escalar junto con las magnitudes de los vectores:

$\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}$

Una vez que se tiene el valor de $\cos(\theta)$ , podemos encontrar $\theta$ aplicando la función inversa del coseno, también conocida como arccoseno:

$\theta = \arccos\left( \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \right)$

Para calcular el producto escalar, usamos las componentes de los vectores:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_x b_x + a_y b_y$

y las magnitudes de los vectores se calculan como:

$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$

$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2}$

Cómo calcular el ángulo entre dos vectores

Paso 1: Calcular el producto escalar

Primero, calculamos el producto escalar de los vectores $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ . Por ejemplo, si $\overrightarrow{a} = (a_x, a_y)$ y $\overrightarrow{b} = (b_x, b_y)$ , el producto escalar es:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_x b_x + a_y b_y$

Paso 2: Calcular las magnitudes de los vectores

Luego, calculamos las magnitudes de los vectores:

$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$

$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2}$

Paso 3: Usar la fórmula del ángulo

Finalmente, utilizamos la fórmula del coseno para encontrar $\cos(\theta)$ y después aplicamos la función arccoseno para determinar el ángulo:

$\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}$

$\theta = \arccos\left( \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \right)$

Ejercicios sobre ángulo entre dos vectores

Ejercicio 1: Dados los vectores $\overrightarrow{a} = (2, k)$ y $\overrightarrow{b} = (1, -3)$ , calcula $k$ para que los vectores sean perpendiculares.

Para que los vectores sean perpendiculares, su producto escalar debe ser igual a cero:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot 1 + k \cdot (-3) = 0$

$2 - 3k = 0 \implies k = \frac{2}{3}$

Ejercicio 2: Calcular el producto escalar y el ángulo que forman los vectores $\overrightarrow{a} = (1, -2)$ y $\overrightarrow{b} = (3, 2)$ .

Primero, calculamos el producto escalar:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \cdot 3 + (-2) \cdot 2 = 3 - 4 = -1$

Luego, las magnitudes de los vectores:

$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

Finalmente, calculamos el ángulo:

$\cos(\theta) = \frac{-1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{13}} = \frac{-1}{\sqrt{65}}$

$\theta = \arccos\left( \frac{-1}{\sqrt{65}} \right)$

Ejercicio 3: Dados los vectores $\overrightarrow{a} = (k, 3)$ y $\overrightarrow{b} = (1, -2)$ , calcula $k$ para que los vectores sean paralelos.

Para que los vectores sean paralelos, uno debe ser un múltiplo escalar del otro. Esto significa que $\frac{k}{1} = \frac{3}{-2}$ , así que:

$k = 1 \cdot \left( \frac{3}{-2} \right) = -\frac{3}{2}$

Ejercicio 4: Hallar $t$ si el ángulo que forman los vectores $\overrightarrow{a} = (3, t)$ y $\overrightarrow{b} = (1, -2)$ vale 45°.

Dado que $\theta = 45°$ , $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Calculamos el producto escalar y magnitudes:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3 \cdot 1 + t \cdot (-2) = 3 - 2t$

$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{3^2 + t^2} = \sqrt{9 + t^2}$

$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

Usamos la fórmula del coseno:

$\cos(45°) = \frac{3 - 2t}{\sqrt{9 + t^2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Resolviendo para $t$ :

$\frac{3 - 2t}{\sqrt{45 + 5t^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ejercicio 5: Calcular los ángulos del triángulo de vértices: $A=(-2,3)$ , $B=(0,-2)$ y $C=(1,4)$ .

Primero, calculamos los vectores $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BC}$ y $\overrightarrow{CA}$ :

$\overrightarrow{AB} = (0 + 2, -2 - 3) = (2, -5)$

$\overrightarrow{BC} = (1 - 0, 4 + 2) = (1, 6)$

$\overrightarrow{CA} = (-2 - 1, 3 - 4) = (-3, -1)$

Calculamos los productos escalares y las magnitudes:

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 2 \cdot 1 + (-5) \cdot 6 = 2 - 30 = -28$

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + (-5 )^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$

$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{1^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37}$

Usamos la fórmula del coseno para cada par de vectores y calculamos los ángulos en cada vértice del triángulo:

$\cos(\theta_{AB-BC}) = \frac{-28}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{37}} = \frac{-28}{\sqrt{1073}}$

$\theta_{AB-BC} = \arccos\left( \frac{-28}{\sqrt{1073}} \right)$

Repetimos el proceso para $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA}$ y $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB}$ para encontrar los otros dos ángulos del triángulo.