Producto de un vector por un escalar

El producto de un vector por un escalar es una operación fundamental en el álgebra vectorial que tiene aplicaciones en diversas áreas de la matemática y la física. Esta operación consiste en multiplicar cada componente de un vector por un número real (escalar), resultando en un nuevo vector. Es útil en situaciones donde necesitamos cambiar la magnitud de un vector sin alterar su dirección o, en algunos casos, invertir su sentido. A lo largo de esta publicación, exploraremos en detalle esta operación, sus propiedades, y presentaremos varios ejemplos ilustrativos.

Producto de vector por escalar

Para entender el producto de un vector por un escalar, consideremos un vector $\overrightarrow{v} = (v_x, v_y)$ y un escalar $k$ . El producto de $\overrightarrow{v}$ por $k$ se define como el vector $\overrightarrow{w}$ cuyas componentes son $k$ veces las componentes de $\overrightarrow{v}$ :

$\overrightarrow{w} = k \overrightarrow{v} = (k v_x, k v_y)$

En otras palabras, multiplicar un vector por un escalar implica multiplicar cada una de sus componentes por ese escalar. Si el escalar es positivo, el vector resultante tendrá la misma dirección que el vector original, pero su magnitud será escalada por el valor del escalar. Si el escalar es negativo, el vector resultante tendrá la dirección opuesta.

Propiedades del producto de un vector por un escalar

El producto de un vector por un escalar posee varias propiedades importantes que facilitan su manipulación en cálculos matemáticos y físicos:

1. Distribución sobre la adición de escalares:

$k (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}) = k \overrightarrow{v} + k \overrightarrow{u}$

Esto significa que multiplicar la suma de dos vectores por un escalar es equivalente a multiplicar cada vector por el escalar y luego sumar los resultados.

2. Asociatividad respecto a la multiplicación de escalares:

$(km) \overrightarrow{v} = k (m \overrightarrow{v})$

Aquí, $k$ y $m$ son escalares, y esta propiedad nos dice que el orden en que se multiplican los escalares no afecta al resultado final del vector.

3. Elemento neutro:

$1 \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}$

Multiplicar un vector por el escalar 1 no cambia el vector.

4. Elemento absorbente:

$0 \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$

Multiplicar cualquier vector por 0 siempre da como resultado el vector nulo, independientemente de las componentes del vector original.

5. Multiplicación por un escalar negativo:

$-1 \cdot \overrightarrow{v} = -\overrightarrow{v}$

Multiplicar un vector por -1 da un vector con la misma magnitud pero en dirección opuesta.

Ejemplos del producto de un vector por un escalar

Ejemplo 1:

Consideremos el vector $\overrightarrow{v} = (3, 4)$ y el escalar $k = 2$ . El producto del vector por el escalar es:

$2 \overrightarrow{v} = 2 (3, 4) = (2 \cdot 3, 2 \cdot 4) = (6, 8)$

El vector resultante tiene una magnitud dos veces mayor que la del vector original y mantiene la misma dirección.

Ejemplo 2:

Consideremos el vector $\overrightarrow{u} = (-2, 5)$ y el escalar $k = -3$ . El producto del vector por el escalar es:

$-3 \overrightarrow{u} = -3 (-2, 5) = (-3 \cdot -2, -3 \cdot 5) = (6, -15)$

El vector resultante tiene una magnitud tres veces mayor que la del vector original pero en dirección opuesta.

Ejemplo 3:

Supongamos que tenemos el vector $\overrightarrow{a} = (7, -3)$ y el escalar $k = 0.5$ . El producto del vector por el escalar es:

$0.5 \overrightarrow{a} = 0.5 (7, -3) = (0.5 \cdot 7, 0.5 \cdot -3) = (3.5, -1.5)$

Ejercicios del producto de un escalar por un vector

Ejercicio 1

Calcular $2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}$ para $\overrightarrow{a} = (1, 2)$ y $\overrightarrow{b} = (3, -1)$ .

Paso 1: Multiplicar los vectores por sus respectivos escalares

$2 \overrightarrow{a} = 2 (1, 2) = (2 \cdot 1, 2 \cdot 2) = (2, 4)$

$3 \overrightarrow{b} = 3 (3, -1) = (3 \cdot 3, 3 \cdot -1) = (9, -3)$

Paso 2: Sumar los resultados obtenidos

$2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b} = (2, 4) + (9, -3) = (2 + 9, 4 - 3) = (11, 1)$

Ejercicio 2

Calcular $4 \overrightarrow{a} - 2 \overrightarrow{b}$ para $\overrightarrow{a} = (-2, 5)$ y $\overrightarrow{b} = (1, -3)$ .

Paso 1: Multiplicar los vectores por sus respectivos escalares

$4 \overrightarrow{a} = 4 (-2, 5) = (4 \cdot -2, 4 \cdot 5) = (-8, 20)$

$2 \overrightarrow{b} = 2 (1, -3) = (2 \cdot 1, 2 \cdot -3) = (2, -6)$

Paso 2: Restar los resultados obtenidos

$4 \overrightarrow{a} - 2 \overrightarrow{b} = (-8, 20) - (2, -6) = (-8 - 2, 20 + 6) = (-10, 26)$

Ejercicio 3

Calcular $-3 \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$ para $\overrightarrow{a} = (4, -2)$ , $\overrightarrow{b} = (-1, 3)$ y $\overrightarrow{c} = (2, 1)$ .

Paso 1: Multiplicar $\overrightarrow{a}$ por el escalar

$-3 \overrightarrow{a} = -3 (4, -2) = (-3 \cdot 4, -3 \cdot -2) = (-12, 6)$

Paso 2: Sumar y restar los vectores

$-3 \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} = (-12, 6) + (-1, 3) - (2, 1)$

$= (-12 - 1 - 2, 6 + 3 - 1) = (-15, 8)$

Ejercicio 4

Calcular $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot 2$ para $\overrightarrow{a} = (5, 1)$ y $\overrightarrow{b} = (-3, 4)$ .

Paso 1: Sumar los vectores

$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (5, 1) + (-3, 4) = (5 - 3, 1 + 4) = (2, 5)$

Paso 2: Multiplicar el resultado por 2

$(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot 2 = (2, 5) \cdot 2 = (2 \cdot 2, 5 \cdot 2) = (4, 10)$

Ejercicio 5.

Calcular $0.5 (\overrightarrow{a} - 2 \overrightarrow{b})$ para $\overrightarrow{a} = (6, -3)$ y $\overrightarrow{b} = (2, 1)$ .

Paso 1: Multiplicar $\overrightarrow{b}$ por 2

$2 \overrightarrow{b} = 2 (2, 1) = (2 \cdot 2, 2 \cdot 1) = (4, 2)$

Paso 2: Restar $\overrightarrow{a}$ y $2 \overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{a} - 2 \overrightarrow{b} = (6, -3) - (4, 2) = (6 - 4, -3 - 2) = (2, -5)$

Paso 3: Multiplicar el resultado por 0.5

$0.5 (\overrightarrow{a} - 2 \overrightarrow{b}) = 0.5 (2, -5) = (0.5 \cdot 2, 0.5 \cdot -5) = (1, -2.5)$