Producto escalar (punto) de vectores

El producto escalar, también conocido como producto punto, es una operación fundamental en el álgebra vectorial que nos permite relacionar dos vectores para obtener un valor escalar. A diferencia del producto vectorial, que produce un vector, el producto escalar resulta en un número real. Esta operación tiene aplicaciones importantes en diversas áreas como la física, la ingeniería y la computación, facilitando el cálculo de magnitudes como el trabajo realizado por una fuerza o la proyección de un vector sobre otro.

Definición y fórmulas del producto escalar

El producto escalar de dos vectores $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ en el plano se define como el producto de sus magnitudes y el coseno del ángulo $\theta$ entre ellos. Matemáticamente, se expresa como:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos(\theta)$

Si los vectores $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ están dados en términos de sus componentes, es decir, $\overrightarrow{a} = (a_x, a_y)$ y $\overrightarrow{b} = (b_x, b_y)$ , el producto escalar se calcula como:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_x b_x + a_y b_y$

Esta fórmula resulta de descomponer los vectores en sus componentes y aplicar la definición del producto escalar. Este enfoque es especialmente útil para cálculos en coordenadas cartesianas.

Propiedades del producto escalar

El producto escalar posee varias propiedades que son útiles en el análisis y manipulación de vectores. Algunas de las propiedades más importantes son:

1. Conmutatividad:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}$

Esto significa que el orden en que se multiplican los vectores no afecta el resultado.

2. Distribución respecto a la suma:

$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$

Esta propiedad indica que el producto escalar se distribuye sobre la suma de vectores.

3. Compatibilidad con la multiplicación por un escalar:

$(k \overrightarrow{a}) \cdot \overrightarrow{b} = k (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})$

Donde $k$ es un escalar. Esto muestra que escalar un vector antes de calcular el producto escalar es equivalente a escalar el resultado del producto.

4. Producto escalar de un vector consigo mismo:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|^2$

Esta propiedad refleja que el producto escalar de un vector consigo mismo es igual al cuadrado de su magnitud.

Estas propiedades facilitan la resolución de problemas y la simplificación de expresiones algebraicas que involucran productos escalares.

Módulo de un vector en términos del producto punto

El módulo o magnitud de un vector $\overrightarrow{a}$ puede expresarse utilizando el producto escalar. Dado que $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|^2$ , podemos obtener la magnitud de $\overrightarrow{a}$ mediante la raíz cuadrada del producto escalar del vector consigo mismo:

$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}}$

Esta fórmula es útil para calcular la magnitud de un vector sin necesidad de conocer su representación gráfica o geométrica. Además, simplifica muchos cálculos en álgebra vectorial.

Interpretación geométrica del producto escalar de dos vectores

Cuando se consideran dos vectores en el plano, $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ , el producto escalar entre ellos se puede relacionar con el ángulo formado por estos vectores y sus longitudes, geométricamente, el producto escalar se puede expresar como:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos(\theta)$

donde $|\overrightarrow{a}|$ y $|\overrightarrow{b}|$ son las magnitudes de los vectores $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ , y $\theta$ es el ángulo entre los dos vectores.

Esta relación nos dice que el producto escalar mide cuánto de un vector «proyecta» en la dirección del otro. En otras palabras, si el ángulo $\theta$ es agudo (menor de 90 grados), el coseno del ángulo es positivo, y el producto escalar también es positivo, lo que indica que los vectores están en la misma dirección general. Si el ángulo es obtuso (mayor de 90 grados), el coseno del ángulo es negativo, y el producto escalar es negativo, indicando que los vectores están en direcciones opuestas.

Ejemplos geométricos

Consideremos dos vectores $\overrightarrow{a} = (3, 4)$ y $\overrightarrow{b} = (4, -3)$ . Primero, calculemos su producto escalar usando las componentes:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 12 - 12 = 0$

El producto escalar es cero, lo que nos dice que los vectores son ortogonales, es decir, forman un ángulo de 90 grados entre ellos. Geométricamente, esto se puede interpretar como que $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ están en direcciones completamente perpendiculares entre sí.

Consideremos ahora dos vectores $\overrightarrow{a} = (2, 3)$ y $\overrightarrow{b} = (4, 1)$ . Vamos a calcular su producto escalar utilizando las componentes:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 8 + 3 = 11$

En este caso, el producto escalar es 11, lo cual es un valor positivo. Esto nos indica que el ángulo $\theta$ entre los vectores es menor a 90 grados, por lo que los vectores tienen una dirección similar y no son ortogonales.

Para entender mejor la interpretación geométrica, calculemos las magnitudes de los vectores:

$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$

Ahora, utilizando la fórmula geométrica del producto escalar, podemos encontrar el coseno del ángulo entre los vectores:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos(\theta)$

$11 = \sqrt{13} \cdot \sqrt{17} \cdot \cos(\theta)$

$\cos(\theta) = \frac{11}{\sqrt{13 \cdot 17}} = \frac{11}{\sqrt{221}}$

Esto nos muestra que $\cos(\theta)$ es positivo, indicando que el ángulo $\theta$ es agudo. Este valor numérico refuerza la idea de que los vectores $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ están en una dirección similar.

Ejemplos de producto escalar de vectores

Veamos algunos ejemplos prácticos para entender mejor el cálculo del producto escalar:

Ejemplo 1:

Dado $\overrightarrow{a} = (3, 4)$ y $\overrightarrow{b} = (2, -1)$ , calcular $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ .

Solución:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (3)(2) + (4)(-1) = 6 - 4 = 2$

Ejemplo 2:

Si $\overrightarrow{c} = (-1, 2)$ y $\overrightarrow{d} = (4, 0)$ , encontrar $\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d}$ .

Solución:

$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d} = (-1)(4) + (2)(0) = -4 + 0 = -4$

Ejemplo 3:

Considerando $\overrightarrow{e} = (1, -1)$ y $\overrightarrow{f} = (-3, 5)$ , calcular el producto escalar $\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{f}$ .

Solución:

$\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{f} = (1)(-3) + (-1)(5) = -3 - 5 = -8$

Ejemplo 4:

Para los vectores $\overrightarrow{g} = (0, 7)$ y $\overrightarrow{h} = (7, 0)$ , encontrar el producto escalar.

Solución:

$\overrightarrow{g} \cdot \overrightarrow{h} = (0)(7) + (7)(0) = 0 + 0 = 0$

Ejemplo 5:

Dado $\overrightarrow{i} = (2, 3)$ y $\overrightarrow{j} = (1, 1)$ , calcular $\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j}$ .

Solución:

$\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} = (2)(1) + (3)(1) = 2 + 3 = 5$

Ejercicios con el producto escalar o punto de dos vectores

Ejercicio 1: Suma y producto escalar

Dados los vectores $\overrightarrow{a} = (3, 4)$ y $\overrightarrow{b} = (2, -1)$ , calcular:

$\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$

1. Suma de vectores:

$\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (3, 4) + (2, -1) = (3 + 2, 4 + (-1)) = (5, 3)$

2. Producto escalar:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = (3, 4) \cdot (5, 3) = (3 \cdot 5) + (4 \cdot 3) = 15 + 12 = 27$

Ejercicio 2: Producto de un vector por un escalar y resta

Dado el vector $\overrightarrow{d} = (4, -3)$ y el escalar $k = 2$ , calcular:

$2\overrightarrow{d}$
$\overrightarrow{e} = 2\overrightarrow{d} - \overrightarrow{d}$

1. Producto de un vector por un escalar:

$2\overrightarrow{d} = 2(4, -3) = (2 \cdot 4, 2 \cdot -3) = (8, -6)$

2. Resta de vectores:

$\overrightarrow{e} = 2\overrightarrow{d} - \overrightarrow{d} = (8, -6) - (4, -3) = (8 - 4, -6 - (-3)) = (4, -3)$

Ejercicio 3: Producto escalar y módulo de un vector

Dado el vector $\overrightarrow{f} = (1, 7)$ , calcular:

$\overrightarrow{f} \cdot \overrightarrow{f}$
$|\overrightarrow{f}|$

1. Producto escalar de un vector consigo mismo:

$\overrightarrow{f} \cdot \overrightarrow{f} = (1, 7) \cdot (1, 7) = (1 \cdot 1) + (7 \cdot 7) = 1 + 49 = 50$

2. Módulo del vector utilizando el producto escalar:

$|\overrightarrow{f}| = \sqrt{\overrightarrow{f} \cdot \overrightarrow{f}} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

Ejercicio 4: Combinación de operaciones

Dados los vectores $\overrightarrow{g} = (3, -2)$ y $\overrightarrow{h} = (-1, 4)$ , calcular:

$\overrightarrow{i} = \overrightarrow{g} - \overrightarrow{h}$
$\overrightarrow{j} = 3\overrightarrow{g} + 2\overrightarrow{h}$
$\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{i}$

1. Resta de vectores:

$\overrightarrow{i} = \overrightarrow{g} - \overrightarrow{h} = (3, -2) - (-1, 4) = (3 - (-1), -2 - 4) = (4, -6)$

2. Combinación lineal:

$3\overrightarrow{g} + 2\overrightarrow{h} = 3(3, -2) + 2(-1, 4) = (9, -6) + (-2, 8) = (9 - 2, -6 + 8) = (7, 2)$

3. Producto escalar:

$\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{i} = (7, 2) \cdot (4, -6) = (7 \cdot 4) + (2 \cdot -6) = 28 - 12 = 16$

Ejercicio 5: Producto escalar y módulo con suma de vectores

Dados los vectores $\overrightarrow{k} = (2, 1)$ y $\overrightarrow{l} = (5, -3)$ , calcular:

$\overrightarrow{m} = \overrightarrow{k} + \overrightarrow{l}$
$\overrightarrow{n} = -\overrightarrow{k}$
$|\overrightarrow{n}|$
$\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n}$

1. Suma de vectores:

$\overrightarrow{m} = \overrightarrow{k} + \overrightarrow{l} = (2, 1) + (5, -3) = (2 + 5, 1 - 3) = (7, -2)$

2. Producto de un vector por un escalar:

$\overrightarrow{n} = -\overrightarrow{k} = -(2, 1) = (-2, -1)$

3. Módulo del vector:

$|\overrightarrow{n}| = \sqrt{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{n}} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

4. Producto escalar:

$\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = (7, -2) \cdot (-2, -1) = (7 \cdot -2) + (-2 \cdot -1) = -14 + 2 = -12$

1. Resta de vectores:

$\overrightarrow{i} = \overrightarrow{g} - \overrightarrow{h} = (3, -2) - (-1, 4) = (3 - (-1), -2 - 4) = (4, -6)$

2. Combinación lineal:

$3\overrightarrow{g} + 2\overrightarrow{h} = 3(3, -2) + 2(-1, 4) = (9, -6) + (-2, 8) = (9 - 2, -6 + 8) = (7, 2)$

3. Producto escalar:

$\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{i} = (7, 2) \cdot (4, -6) = (7 \cdot 4) + (2 \cdot -6) = 28 - 12 = 16$

[/solucion]

Ejercicio 5: Producto escalar y módulo con suma de vectores
Dados los vectores $\overrightarrow{k} = (2, 1)$ y $\overrightarrow{l} = (5, -3)$ , calcular:
1. $\overrightarrow{m} = \overrightarrow{k} + \overrightarrow{l}$
2. $\overrightarrow{n} = -\overrightarrow{k}$
3. $|\overrightarrow{n}|$
4. $\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n}$

1. Suma de vectores:

$\overrightarrow{m} = \overrightarrow{k} + \overrightarrow{l} = (2, 1) + (5, -3) = (2 + 5, 1 - 3) = (7, -2)$

2. Producto de un vector por un escalar:

$\overrightarrow{n} = -\overrightarrow{k} = -(2, 1) = (-2, -1)$

3. Módulo del vector:

$|\overrightarrow{n}| = \sqrt{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{n}} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

4. Producto escalar:

$\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = (7, -2) \cdot (-2, -1) = (7 \cdot -2) + (-2 \cdot -1) = -14 + 2 = -12$