Indeterminación cero por infinito (0.∞)

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Desde que iniciamos el estudio de los limites indeterminados hemos creado una pagina para dedicarles un espacio a cada uno de los casos, en esta oportunidad ampliaremos conocimientos sobre la indeterminación cero por infinito (0.∞)

Indeterminación cero por infinito (0.∞)

La eliminación de este tipo de indeterminación consiste primero en transformarla en como indeterminación como $\frac{\infty }{\infty }$ ó $\frac{0}{0}$ , para ello aplicamos:

a.- Para transformarla a la indeterminación cero entre cero aplicamos;

$F(x).G(X)=\frac{F(x)}{\frac{1}{G(x)}}=\frac{0}{0}$

b.- Para transformarla a infinito entre infinito aplicamos;

$F(x).G(X)=\frac{G(x)}{\frac{1}{F(x)}}=\frac{\infty}{\infty}$

Otra forma de eliminar (0.∞) es convertir la función en otra función equivalente.

Ejercicios de limites indeterminados (0.∞)

Resolver los siguientes límites:

Ejercicio 1.-

$=\displaystyle \lim_{x \to 2}((x-2).\frac{1}{x^{2}+x-6})$

evaluamos;

$=((2-2).\frac{1}{2^{2}+2-6})$

$=0.\infty$

trasformaremos la función a una equivalente;

$\displaystyle \lim_{x \to 2}(\frac{x-2}{x^{2}+x-6})$

si evaluamos $\frac{\infty }{\infty }$ procedemos según este caso;

$=\displaystyle \lim_{x \to 2}(\frac{\frac{x}{x^{2}}-\frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{x}{x^{2}}-\frac{6}{x^{2}}})$

$=\displaystyle \lim_{x \to 2}(\frac{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^{2}}})$

evaluando el resultado es

$=\infty$

Ejercicio 2.-

$\displaystyle \lim_{x \to \infty }e^{-x}.x$

Si aplicamos la expresiones anteriores sería;

$F(x).G(X)=\frac{F(x)}{\frac{1}{G(x)}}=\frac{0}{0}$

consideramos F(x) la función igual a cero y G(x) la función igual a infinito, procediendo a sustituir;

$=\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{e^{-x}}{\frac{1}{x}}$

si evaluamos, quería la indeterminación $\frac{0}{0}$ aplicando el procedimiento según el caso.

Si por el contrario aplicamos:

$F(x).G(X)=\frac{G(x)}{\frac{1}{F(x)}}=\frac{\infty}{\infty}$

sería;

$=\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{x}{\frac{1}{e^{-x}}}$

evaluando la indeterminación quedaría $\frac{\infty}{\infty}$

donde

$e^{-x}=\frac{1}{e^{x}}$

$\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{x}{e^{x}}$

Según sea el caso que apliques el resultado es:

$=0$

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