Indeterminación cero elevado a la cero

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Es esta oportunidad desarrollaremos algunos ejercicios de limites indeterminados del tipo cero elevado a la cero 0^{0}.

Indeterminación cero elevado a cero 0^{0}.

Al igual que otras indeterminaciones este caso cero elevado a 0, lo trasformaremos a \frac{\infty }{\infty } ó \frac{0}{0}, para ello aplicamos logaritmos y después la regla de L’Hópital.

Para la trasformación desarrollamos la siguiente expresión:

si tenemos;

    \[\displaystyle \lim_{x \to a}F(x)^{G(x)}=0^{0} \]

    \[\displaystyle \lim_{x \to a}F(x)^{G(x)}=e^{\displaystyle \lim_{x \to a}Ln(F(x)^{G(x)})}\]

donde:

    \[=\displaystyle \lim_{x \to a}Ln(F(x)^{G(x)})\]

    \[=\displaystyle \lim_{x \to a}G(x)Ln(F(x)})\]

esto genera dos expresiones;

a.- para obtener la indeterminación cero entre cero

    \[\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{G(x)}{\frac{1}{Ln F(x)}})\]

b.- para obtener la indeterminación infinito entre infinito

    \[\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{Ln F(x)}{\frac{1}{G(x)}})\]

Ejercicios de límites indeterminado cero elevado a la cero

Resolver los siguientes límites:

Ejercicio 1.-

    \[\displaystyle \lim_{x \to 0}x^{3x}\]

al evaluar quedaría;

    \[=0^{0}\]

transformemos a otra indeterminación;

    \[\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{Ln F(x)}{\frac{1}{G(x)}})\]

ó

    \[\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{G(x)}{\frac{1}{Ln F(x)}})\]

tienes la libertad de seleccionar una opción, nosotros trabajaremos con la primera;

    \[=\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{Ln (x)}{\frac{1}{3x}})\]

    \[=e^{\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{Ln (x)}{\frac{1}{3x}})}\]

aplicando L’Hospital;

    \[=e^{\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{-3x^{2}}})}\]

    \[=e^{\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{-3x^{2}}{x})}\]

    \[=e^{\displaystyle \lim_{x \to 0}-3x}\]

    \[=e^{0}\]

    \[=1\]

Ejercicio 2.-

    \[\displaystyle \lim_{x \to 0} (2x^{2}-3x)^{x}\]

Al evaluar daría cero elevado a la cero, por tanto se debe proceder a eliminar la indeterminación utilizando las expresiones anteriores, pero vamos a resolver este  ejercicios particular de otra forma;

aplicamos propiedad de los logaritmos;

    \[=e^{\displaystyle \lim_{x \to 0}Ln((2x^{2}-3x)^{x})}\]

    \[=\displaystyle \lim_{x \to 0}x.Ln(2x^{2}-3x)\]

al evaluar;

    \[=0.(-\infty) \]

transformamos a otra indeterminación según este caso (0.∞);

    \[=\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{Ln(2x^{2}-3x)}{\frac{1}{x}}\]

Tenemos otra indeterminación infinito entre infinito, aplicamos la regla de L’Hopital;

    \[=\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2x^{2}-3x}(4x-3)}{\frac{-1}{x^{2}}}\]

    \[=\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x^{2}(4x-3)}{-(2x^{2}-3x)}\]

    \[=\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x^{2}(4x-3)}{-x(2x-3)}\]

    \[=\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x(4x-3)}{-(2x-3)}\]

evaluamos nuevamente;

    \[=\frac{0(4.0-3)}{(2.0-3)} \[=\frac{0}{-0(2.0-3)} \[=0\]

    \[=e^{0}\]

    \[=1\]

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