Indeterminación infinito elevado a la cero

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El procedimiento para eliminar la indeterminación infinito elevado a la cero $\infty ^{0}$ es parecida a la de cero elevado a la cero $0^{0}$ , si ya consultaste esta pagina se te hará fácil comprender los ejercicios que te presentamos a continuación.

Indeterminación infinito elevado a la cero $\infty ^{0}$ .

En la indeterminación infinito elevado a la cero $\infty ^{0}$ aplicamos la propiedad de los logaritmos de la siguiente manera:

$\displaystyle \lim_{x \to a}F(x)^{G(x)}=0^{0}$

$\displaystyle \lim_{x \to a}F(x)^{G(x)}=e^{\displaystyle \lim_{x \to a}Ln (F(x)^{G(x)})}$

$=e^{\displaystyle \lim_{x \to a}{G(x)Ln (F(x)})}$

esto genera dos opciones en la resolución del ejercicio que pueden ser utilizadas:

$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{G(x)}{\frac{1}{Ln F(x)}}=\frac{0}{0}$

y

$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{Ln F(x)}{\frac{1}{G(x)}}=\frac{\infty }{\infty }$

Ejercicio de limite indeterminado infinito elevado a la cero $\infty ^{0}$

Resolver los siguientes límites.

Ejercicio 1.-

$\displaystyle \lim_{ x\to 0}(\frac{1}{sen(x)})^{sen(x)}$

evaluamos:

$=(\frac{1}{sen(0)})^{sen(0)}$

$=\infty^{0}$

transformamos otra indeterminación según las expresiones anteriores, selecciona la que tu considere, en este caso trabajaremos con;

$=e^{\displaystyle \lim_{x \to 0}{Sen(x)Ln (\frac{1}{Sen(x)}})}$

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{Ln F(x)}{\frac{1}{G(x)}}$

$=\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{Ln \frac{1}{sen(x)}}{\frac{1}{Sen(x)}}$

seguidamente implementamos la regla de L’Hopital, derivamos por separado;

$Ln \frac{1}{sen(x)}'=\frac{-cos(x)}{Sen(x)}$

$(\frac{1}{sen(x)})'=\frac{-cos(x)}{sen^{2}(x)}$

$=\displaystyle \lim_{x \to 0}=\frac{\frac{-cos(x)}{Sen(x)}}{\frac{-cos(x)}{sen^{2}(x)}}$

$=\displaystyle \lim_{x \to 0}=\frac{-cos(x).sen^{2}(x)}{-cos(x)sen(x)}$

$=\displaystyle \lim_{x \to 0}=sen(x)}$

evaluando;

$=0$

$=e^{0}$

$=1$

Ejercicio 2.-

$\displaystyle \lim_{x \to \infty }(x)^{\frac{1}{x}}$

procedemos a eliminar la indeterminación;

$=e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty }{\frac{1}{x}}Ln(x)}$

$=e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{Ln(x)}{\frac{1}{x}}}$

$=e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{Ln(x)}{x}}$

L’Hopital;

$(\frac{Ln(x)}{x})'=\frac{1}{x}$

evaluando;

$=\frac{1}{\infty}$

$=0$

$=e^{0}$

$=1$

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