Descomposición en factores primos

La descomposición en factores primos es una técnica fundamental en matemáticas que nos ayuda a entender mejor los números. Este proceso es especialmente útil para simplificar fracciones, encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) y el máximo común divisor (MCD) y resolver muchos problemas de matemáticas. Vamos a explorar qué son los factores primos, cómo descomponer un número en factores primos y varios ejemplos prácticos para que puedas entenderlo mejor.

¿Qué son los factores primos de un número?

Los factores primos de un número son aquellos números primos que, al multiplicarse entre sí, dan como resultado el número original. Éste concepto se basa en el hecho de que cualquier número entero puede ser expresado como la multiplicación de números primos.

Por ejemplo, si consideramos el número 18, sus factores primos son 2 y 3. Esto se debe a que 18 se puede expresar como 2 x 3 x 3. Aquí, 2 y 3 son números primos.

Descomposición en factores primos

Descomponer un número en factores primos significa expresarlo como un producto de números primos. Para hacerlo, empezamos dividiendo el número por el menor número primo posible (que es 2), y continuamos dividiendo los resultados por números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, y así sucesivamente.) hasta que obtenemos el número 1. Este proceso se conoce como «descomposición en factores primos».

Por ejemplo, para descomponer el número 60 en factores primos, comenzamos dividiendo por 2:
– 60 ÷ 2 = 30
– 30 ÷ 2 = 15
Ahora, 15 no es divisible por 2, así que pasamos al siguiente número primo, que es 3:
– 15 ÷ 3 = 5
Finalmente, 5 es un número primo, por lo que no puede dividirse más que por sí mismo:
– 5 ÷ 5 = 1

Así, la descomposición en factores primos de 60 es 2 x 2 x 3 x 5.

Antes de continuar, es preciso comentar tres detalles.

El primero, es que el proceso habitual de la descomposición en factores primos es que siempre comencemos por el número primo más bajo y continuamos, pero la realidad es que el proceso puede hacerse siguiendo cualquier orden, por ejemplo y tomando de ejemplo el mismo número 60, este lo podemos expresar de la siguiente manera:

60=6×10

Y luego, teniendo en cuenta que 6 = 2 x 3 y 10=2×5, podemos decir que:

60=2x3x2x5

Que es la misma descomposición que obtuvimos antes.

Lo segundo que debemos tener en cuenta, es que aunque ciertamente el procedimiento explicado anteriormente es el que se lleva a cabo en la práctica, si que suele expresarse de un modo un poco diferente, colocando el número que se está descomponiendo, trazando una línea vertical e ir haciendo las divisiones apuntando los factores por los que se va dividiendo del lado derecho, así:

$\begin{tabular}{l|c} 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ \end{tabular}$

Y finalmente, para simplificar las expresiones que se obtienen en la descomposición factorial, se recurre al uso de potencias cuyas bases son obviamente los factores primos, así en lugar de escribir $60=2x2x3x5$ escribimos: $60=2^{2}\times 3\times 5$

Y ahora, antes de continuar con los ejercicios explicaré un ejemplo completo paso por paso, en adelante verás el proceso explicado de manera más directa. Vamos a descomponer el número 24 en factores primos.
Seguimos un proceso sistemático, dividiéndolo por los números primos más pequeños hasta que obtenemos el número 1.

Paso 1: Dividir por el menor número primo
Comenzamos con el número 24 y lo dividimos por el menor número primo, que es 2.

$24 \div 2 = 12$

Paso 2: Continuar dividiendo por 2
Ahora, tomamos el resultado, que es 12, y lo volvemos a dividir por 2.

$12 \div 2 = 6$

Paso 3: Continuar dividiendo por 2
Seguimos dividiendo el nuevo resultado, 6, por 2.

$6 \div 2 = 3$

Paso 4: Pasar al siguiente número primo
El resultado es ahora 3, que es un número primo. Lo dividimos por sí mismo.

$3 \div 3 = 1$

Representación del proceso en tabla
El proceso se puede representar en una tabla vertical para mayor claridad:

$\begin{array}{r|l} 24 & 2 \\ 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & \\ \end{array}$

Expresión en notación de factores primos
Para expresar la descomposición de 24 en factores primos usando potencias, identificamos cuántas veces se usó cada número primo:

$24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3$

Simplificamos usando potencias:

$24 = 2^3 \times 3$

En adelante, sólo verás estos 2 últimos pasos que es la manera habitual en que suele hacerse en la práctica

10 ejemplos de descomposición de factores primos

1. Factores primos de 350

Para descomponer 350 en factores primos, seguimos el procedimiento:

$\begin{array}{r|l} 350 & 2 \\ 175 & 5 \\ 35 & 5 \\ 7 & 7 \\ 1 & \\ \end{array}$

Expresión en factores primos: $350 = 2 \times 5^2 \times 7$

2. ¿Cuál es el promedio de los factores primos de 105?

Primero, descomponemos 105 en factores primos:

$\begin{array}{r|l} 105 & 3 \\ 35 & 5 \\ 7 & 7 \\ 1 & \\ \end{array}$

Expresión en factores primos: $105 = 3 \times 5 \times 7$

Para hallar el promedio, sumamos los factores y dividimos entre la cantidad de factores:

$\text{Promedio} = \frac{3 + 5 + 7}{3} = \frac{15}{3} = 5$

3. Factores primos de 49

Para descomponer 49 en factores primos:

$\begin{array}{r|l} 49 & 7 \\ 7 & 7 \\ 1 & \\ \end{array}$

Expresión en factores primos: $49 = 7^2$

4. Factores primos de 90

Para descomponer 90 en factores primos:

$\begin{array}{r|l} 90 & 2 \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ \end{array}$

Expresión en factores primos: $90 = 2 \times 3^2 \times 5$

5. Factores primos de 32

Para descomponer 32 en factores primos:

$\begin{array}{r|l} 32 & 2 \\ 16 & 2 \\ 8 & 2 \\ 4 & 2 \\ 2 & 2 \\ 1 & \\ \end{array}$

Expresión en factores primos: $32 = 2^5$

6. Factores primos de 20

Para descomponer 20 en factores primos:

$\begin{array}{r|l} 20 & 2 \\ 10 & 2 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ \end{array}$

Expresión en factores primos: $20 = 2^2 \times 5$

7. Factores primos de 280

Para descomponer 280 en factores primos:

$\begin{array}{r|l} 280 & 2 \\ 140 & 2 \\ 70 & 2 \\ 35 & 5 \\ 7 & 7 \\ 1 & \\ \end{array}$

Expresión en factores primos: $280 = 2^3 \times 5 \times 7$

8. Factores primos de 720

Para descomponer 720 en factores primos:

$\begin{array}{r|l} 720 & 2 \\ 360 & 2 \\ 180 & 2 \\ 90 & 2 \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ \end{array}$

Expresión en factores primos: $720 = 2^4 \times 3^2 \times 5$

9. Factores primos de 825

Para descomponer 825 en factores primos:

$\begin{array}{r|l} 825 & 3 \\ 275 & 5 \\ 55 & 5 \\ 11 & 11 \\ 1 & \\ \end{array}$

Expresión en factores primos: $825 = 3 \times 5^2 \times 11$

10. Factores primos de 300

Para descomponer 300 en factores primos, seguimos el mismo procedimiento:

$\begin{array}{r|l} 300 & 2 \\ 150 & 2 \\ 75 & 3 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ \end{array}$

Expresión en factores primos: $300 = 2^2 \times 3 \times 5^2$