Magnitud o norma de un vector con ejercicios resueltos

El módulo, magnitud o norma de un vector es un concepto básico en el estudio de vectores y resulta esencial para comprender y manejar la geometría y la física vectorial. Este término describe la longitud o tamaño de un vector y es crucial para diversas aplicaciones, desde la física clásica hasta la ingeniería y la informática. En este artículo, exploraremos en profundidad qué es el módulo de un vector, cómo se calcula y cuáles son sus propiedades.

Magnitud de un vector

La magnitud de un vector, también conocida como norma o módulo, se refiere a la longitud del vector desde su punto de origen hasta su extremo. Esta medida es siempre un valor no negativo y proporciona una forma de cuantificar la «talla» o «extensión» de un vector en el espacio. Por ejemplo, en un sistema de coordenadas bidimensional, un vector $\overrightarrow{v}$ con componentes $(v_x, v_y)$ tiene una magnitud que representa su distancia desde el origen $(0, 0)$ hasta el punto $(v_x, v_y)$ .

La magnitud de un vector es útil en muchas aplicaciones prácticas. En física, por ejemplo, se utiliza para determinar la velocidad de un objeto, la intensidad de una fuerza o el desplazamiento en un movimiento. En matemáticas, es fundamental para operaciones como la normalización de vectores, donde se ajusta la magnitud de un vector a uno sin cambiar su dirección.

Módulo de un vector

El módulo de un vector se calcula utilizando una fórmula específica basada en sus componentes. En un sistema bidimensional, si el vector $\overrightarrow{v}$ tiene componentes $(v_x, v_y)$ , su módulo se denota como $|\overrightarrow{v}|$ y se calcula mediante la siguiente fórmula:

$|\overrightarrow{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

Esta fórmula es una aplicación directa del teorema de Pitágoras, donde se considera al vector como la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son sus componentes $v_x$ y $v_y$ . De esta manera, el módulo de un vector nos proporciona una medida escalar de su tamaño.

Qué es un módulo o norma de un vector

El módulo o norma de un vector es una función que asigna a cada vector un número real no negativo, que representa su magnitud. Matemáticamente, la norma de un vector $\overrightarrow{v}$ se denota como $\|\overrightarrow{v}\|$ y cumple ciertas propiedades, como ser siempre no negativa y ser cero únicamente cuando el vector es el vector nulo.

La norma de un vector también puede extenderse a sistemas de más dimensiones. En un sistema tridimensional, si un vector $\overrightarrow{v}$ tiene componentes $(v_x, v_y, v_z)$ , su norma se calcula como:

$\|\overrightarrow{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

Esta definición general de la norma es fundamental para diversas aplicaciones en álgebra lineal, geometría y análisis vectorial.

Notación del módulo de un vector

La notación del módulo de un vector es sencilla pero poderosa. Se representa comúnmente como $|\overrightarrow{v}|$ o $\|\overrightarrow{v}\|$ . La primera notación, $|\overrightarrow{v}|$ , es más común en física e ingeniería, mientras que la segunda notación, $\|\overrightarrow{v}\|$ , es más común en matemáticas y álgebra lineal.

Es crucial entender esta notación, ya que se usa ampliamente en fórmulas, teoremas y aplicaciones prácticas. La claridad en la notación permite a los estudiantes y profesionales comunicarse de manera efectiva y evitar malentendidos al trabajar con vectores y sus magnitudes.

Propiedades de la norma de un vector

La norma de un vector tiene varias propiedades importantes que facilitan su uso y comprensión. Entre las propiedades más destacadas se incluyen:

No negatividad: Para cualquier vector $\overrightarrow{v}$ , su norma es siempre no negativa: $\|\overrightarrow{v}\| \geq 0$ .
Identidad del vector nulo: La norma del vector nulo es cero: $\|\overrightarrow{0}\| = 0$ .
Escalabilidad: Si se multiplica un vector por un escalar $c$ , la norma del vector resultante es el valor absoluto de $c$ multiplicado por la norma del vector original: $\|c\overrightarrow{v}\| = |c| \|\overrightarrow{v}\|$ .
Desigualdad triangular: Para dos vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ , la norma de su suma es menor o igual a la suma de sus normas: $\|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\| \leq \|\overrightarrow{u}\| + \|\overrightarrow{v}\|$ .

Estas propiedades son esenciales para trabajar con vectores en diversas aplicaciones matemáticas y físicas, proporcionando reglas y límites claros para sus manipulaciones.

Cómo calcular la magnitud de un vector

Calcular la magnitud de un vector es un proceso directo que involucra el uso de la fórmula pitagórica. Si conocemos las componentes del vector $\overrightarrow{v} = (v_x, v_y)$ , utilizamos la fórmula mencionada anteriormente:

$|\overrightarrow{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

Este cálculo es fundamental en muchas áreas de la ciencia y la ingeniería, donde necesitamos determinar la longitud de un vector para evaluar distancias, velocidades o fuerzas. Es importante ser preciso en estos cálculos para asegurar resultados correctos y fiables.

Además, en el caso de vectores en espacios tridimensionales o superiores, la fórmula se extiende de manera natural sumando el cuadrado de todas las componentes del vector y tomando la raíz cuadrada del resultado.

Cálculo del módulo conociendo sus componentes

Para calcular el módulo de un vector a partir de sus componentes, seguimos un procedimiento sistemático. Consideremos un vector $\overrightarrow{v} = (v_x, v_y)$ . Los pasos son:

1. Cuadrar cada componente del vector: $v_x^2$ y $v_y^2$ .
2. Sumar los resultados: $v_x^2 + v_y^2$ .
3. Tomar la raíz cuadrada de la suma: $\sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ .

Por ejemplo, para un vector $\overrightarrow{v} = (3, 4)$ , calculamos su módulo de la siguiente manera:

$|\overrightarrow{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Este proceso es aplicable a cualquier vector en el plano, independientemente de sus componentes específicas.

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

Si conocemos las coordenadas de los puntos de origen y extremo de un vector, también podemos calcular su módulo. Supongamos que un vector $\overrightarrow{v}$ se extiende desde el punto $A(x_1, y_1)$ hasta el punto $B(x_2, y_2)$ . Las componentes del vector $\overrightarrow{v}$ son $(v_x, v_y) = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$ . La magnitud se calcula como:

$|\overrightarrow{v}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Este método es útil cuando se trabaja con desplazamientos en geometría analítica o en aplicaciones físicas donde los puntos de inicio y final son conocidos.

Módulo de un vector ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Calcular el módulo del vector $\overrightarrow{v} = (6, 8)$ .

$|\overrightarrow{v}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

Ejercicio 2

Dado el vector $\overrightarrow{u} = (-3, 4)$ , encuentra su módulo.

$|\overrightarrow{u}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Ejercicio 3

Calcular el módulo del vector que va desde el punto $A(1, 2)$ hasta el punto $B(4, 6)$ .

Primero, determinamos las componentes del vector:

$(v_x, v_y) = (4 - 1, 6 - 2) = (3, 4)$

Luego, calculamos el módulo:

$|\overrightarrow{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Ejercicio 4

Encuentra el módulo del vector $\overrightarrow{w} = (7, -24)$ .

$|\overrightarrow{w}| = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \sqrt{ 49 + 576} = \sqrt{625} = 25$

Ejercicio 5

Dado el vector $\overrightarrow{p} = (1, -1)$ , calcula su módulo.

$|\overrightarrow{p}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1.41$

Ejercicio 6

Problema:
Calcular el módulo del vector que va desde el punto $A(3, 4)$ hasta el punto $B(7, 1)$ .

Paso 1: Identificar las coordenadas de los puntos

– Punto de origen $A(x_1, y_1) = (3, 4)$
– Punto de extremo $B(x_2, y_2) = (7, 1)$

Paso 2: Aplicar la fórmula del módulo

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Sustituimos las coordenadas de $A$ y $B$ en la fórmula:

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(7 - 3)^2 + (1 - 4)^2}$

Paso 3: Calcular las diferencias

$x_2 - x_1 = 7 - 3 = 4$

$y_2 - y_1 = 1 - 4 = -3$

Paso 4: Elevar al cuadrado las diferencias

$(7 - 3)^2 = 4^2 = 16$

$(1 - 4)^2 = (-3)^2 = 9$

Paso 5: Sumar los cuadrados y calcular la raíz cuadrada

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Resultado:
El módulo del vector $\overrightarrow{AB}$ es 5.

Ejercicio 7

Problema:
Calcular el módulo del vector que va desde el punto $C(-1, 2)$ hasta el punto $D(3, -2)$ .

Paso 1: Identificar las coordenadas de los puntos

– Punto de origen $C(x_1, y_1) = (-1, 2)$
– Punto de extremo $D(x_2, y_2) = (3, -2)$

Paso 2: Aplicar la fórmula del módulo

$|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Sustituimos las coordenadas de $C$ y $D$ en la fórmula:

$|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - 2)^2}$

Paso 3: Calcular las diferencias

$x_2 - x_1 = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4$

$y_2 - y_1 = -2 - 2 = -4$

Paso 4: Elevar al cuadrado las diferencias

$(3 - (-1))^2 = (3 + 1)^2 = 4^2 = 16$

$(-2 - 2)^2 = (-4)^2 = 16$

Paso 5: Sumar los cuadrados y calcular la raíz cuadrada

$|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

Resultado:
El módulo del vector $\overrightarrow{CD}$ es $4\sqrt{2}$ , aproximadamente 5.66.