Producto de binomios con término común

¿Qué ocurre cuando multiplicas dos binomios que tienen la misma variable? ¿Cómo se forma un trinomio a partir de ese producto? Estas son preguntas frecuentes en álgebra básica. El producto de binomios con término común es una técnica fundamental para desarrollar expresiones cuadráticas y aparece constantemente en problemas de factorización, geometría y resolución de ecuaciones.

¿Qué es un binomio con término común?

Un binomio con término común es una expresión de la forma (x + a)(x + b), en la que ambos factores comparten una misma variable —en este caso, x— como parte del término principal. La clave está en que los dos binomios tienen un término idéntico en cuanto a la variable, aunque sus constantes pueden ser diferentes.

¿En qué se diferencia de otros productos notables?

A diferencia del cuadrado de un binomio, donde ambos binomios son exactamente iguales (como $(x + a)^2$ ), o del producto de la suma por la diferencia (como $(x + a)(x - a)$ ), los binomios con término común solo comparten la variable, pero no necesariamente las constantes.

Importancia del tema en álgebra básica

Dominar este producto te permite:

Desarrollar y simplificar expresiones cuadráticas.
Resolver ecuaciones de segundo grado mediante factorización.
Modelar situaciones del mundo real en física, economía y geometría.

Requisitos previos para comprender el tema

Binomios: expresiones algebraicas formadas por dos términos (por ejemplo, $x + 3$ ).
Ley distributiva: propiedad que permite multiplicar cada término de un binomio por cada término del otro.
Productos notables básicos: como el cuadrado de una suma o la diferencia de cuadrados.

Definición formal y estructura algebraica

El producto de dos binomios con término común tiene la forma:

$(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$

Este desarrollo incluye tres términos:

Término cuadrático: $x^2$ , resultado de multiplicar $x \cdot x$ .
Término lineal: $(a + b)x$ , resultado de sumar $a \cdot x + b \cdot x$ .
Término constante: $ab$ , producto de las dos constantes.

Justificación paso a paso del desarrollo

Para multiplicar dos binomios como $(x + a)(x + b)$ , se usa la propiedad distributiva, también conocida como FOIL:

Primer término: $x \cdot x = x^2$ .
Externo: $x \cdot b = bx$ .
Interno: $a \cdot x = ax$ .
Último: $a \cdot b = ab$ .

Ahora sumamos todos los productos:

$x^2 + bx + ax + ab = x^2 + (a + b)x + ab$

Interpretación del trinomio resultante

El trinomio final tiene una estructura clara:

El término cuadrático ( $x^2$ ) indica que estamos trabajando con una expresión de segundo grado.
El término lineal ( $(a + b)x$ ) representa la combinación de las constantes con la variable.
El término constante ( $ab$ ) es el producto directo de las dos constantes.

Ejemplos resueltos del producto de binomios con término común

$(x + 2)(x + 5) = x^2 + 7x + 10$
$(x - 3)(x + 4) = x^2 + x - 12$
$(2x + 1)(2x + 3) = 4x^2 + 8x + 3$
$(x - 7)(x - 2) = x^2 - 9x + 14$
$(3x - 1)(3x + 5) = 9x^2 + 12x - 5$
$(a + 4)(a + 6) = a^2 + 10a + 24$

Casos con signos distintos y variables múltiples

$(2x - 3)(2x + 5) = 4x^2 + 4x - 15$
$(x - 4)(x - 1) = x^2 - 5x + 4$
$(2y + 3z)(2y + 7z) = 4y^2 + 20yz + 21z^2$

Factoreo como proceso inverso

El producto de binomios con término común también puede invertirse. Dado un trinomio como $x^2 + 5x + 6$ , se puede factorizar reconociendo dos números que:

Sumen 5 (coeficiente de x).
Multipliquen para dar 6 (término constante).

En este caso, $2$ y $3$ :

$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

Comparación con otros productos notables

Cuadrado de un binomio: $(x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$
Suma por la diferencia: $(x + a)(x - a) = x^2 - a^2$
Producto con término común: $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$

Aplicaciones prácticas

Problemas de áreas: calcular el área de un rectángulo con lados expresados como binomios.
Fórmulas cuadráticas: modelar trayectorias, ingresos, o costos en física y economía.
Resolución de ecuaciones cuadráticas: cuando el trinomio se iguala a cero.

Errores comunes

Confundir la suma con el producto: escribir $x^2 + abx + ab$ en lugar de $x^2 + (a + b)x + ab$ .
Olvidar distribuir correctamente todos los términos.
Ignorar los signos al multiplicar.

Ejercicios resueltos paso a paso

Ejercicio 1 (básico):

$(x + 1)(x + 2)$

$x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$

Ejercicio 2:

$(x - 1)(x + 3)$

$x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$

Ejercicio 3:

$(2x + 1)(2x + 3)$

$4x^2 + 6x + 2x + 3 = 4x^2 + 8x + 3$

Ejercicio 4:

$(x - 7)(x - 2)$

$x^2 - 2x - 7x + 14 = x^2 - 9x + 14$

Ejercicio 5:

$(2y + 3z)(2y + 7z)$

$4y^2 + 14yz + 6yz + 21z^2 = 4y^2 + 20yz + 21z^2$

Ejercicio 6:

$(\frac{1}{2}x + 2)(\frac{1}{2}x + 5)$

$\frac{1}{4}x^2 + \frac{5}{2}x + x + 10 = \frac{1}{4}x^2 + \frac{7}{2}x + 10$

Ejercicios propuestos

$(x + 4)(x + 6)$
$(3x - 2)(3x + 4)$
$(2m + 5)(2m + 9)$
$(y - 8)(y - 3)$
$(a + 4b)(a + b)$
Factoriza: $x^2 + 7x + 12$
Factoriza: $4x^2 - x - 3$

Preguntas frecuentes (FAQs)

¿Cómo sé si los binomios tienen término común?

Observa si ambos tienen la misma variable con el mismo exponente. Por ejemplo, $x + a$ y $x + b$ comparten el término común $x$ .

¿Qué ocurre si los coeficientes del término común son distintos?

El procedimiento sigue siendo válido, pero el término cuadrático cambiará. Por ejemplo, $(2x + 1)(2x + 3)$ tiene término cuadrático $4x^2$ .

¿Cómo se relaciona este producto con la factorización?

La factorización es el proceso inverso. Dado un trinomio, buscas dos números cuya suma sea el coeficiente de x y cuyo producto sea el término constante.

Glosario de términos usados

Binomio: expresión algebraica con dos términos.
Término común: la variable compartida entre los binomios.
Trinomio: resultado del producto de dos binomios con término común.
Coeficiente: número que multiplica a la variable.
Propiedad distributiva: ley que permite multiplicar término a término.