Derivada de x^3 (x al cubo)

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Para calcular la derivada de la función f(x) = x^3, podemos utilizar la regla de potencias. A continuación, te mostraré los pasos para calcular la derivada paso a paso:

Paso 1: Escribir la función:

$f(x) = x^3$

Paso 2: Aplicar la regla de potencias. Para una función de la forma $f(x) = x^n$ , la derivada es $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$ . En este caso, $n = 3$ , por lo que la derivada será:

$f'(x) = 3 \cdot x^{3-1}$

Paso 3: Simplificar la expresión:

$f'(x) = 3 \cdot x^2$

Paso 4: Escribir la derivada:

$f'(x) = 3x^2$

¡Y eso es todo! La derivada de $f(x) = x^3$ es $f'(x) = 3x^2$ .

Derivada de x^3 mediante la definición de derivada como límite

Para calcular la derivada de $x^3$ usando la definición de derivada como un límite, sigue estos pasos:

Paso 1: Escribe la definición de la derivada como un límite:

$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Paso 2: Sustituye $f(x) = x^3$ en la fórmula:

$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{(x + h)^3 - x^3}{h}$

Paso 3: Expande $(x + h)^3$ :

$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3}{h}$

Paso 4: Simplifica la expresión:

$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h}$

Paso 5: Factoriza $h$ en el numerador:

$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{h(3x^2 + 3xh + h^2)}{h}$

Paso 6: Cancela $h$ en el numerador y el denominador:

$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} (3x^2 + 3xh + h^2)$

Paso 7: Evalúa el límite cuando $h \to 0$ :

$f'(x) = 3x^2$

Por lo tanto, la derivada de $x^3$ usando la definición de derivada como un límite es $f'(x) = 3x^2$ .

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