Derivada de x por raiz de x explicada con 2 métodos diferentes

Te explicos paso a paso cómo calcular la derivada de $x \sqrt{x}$ :

1. Escribe la función original:

$f(x) = x \sqrt{x}$

2. Expresa la raíz cuadrada como potencia:

$\sqrt{x} = x^{1/2}$

Ahora la expresión se ve como $f(x) = x \cdot x^{1/2}$ .

3. Usa la regla del producto:

La regla del producto establece que si $f(x) = g(x) \cdot h(x)$ , entonces la derivada $f'(x)$ se calcula como $f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$ .

En este caso, $g(x) = x$ y $h(x) = x^{1/2}$ .

4. Calcula las derivadas por separado:

– La derivada de $g(x) = x$ con respecto a $x$ es $g'(x) = 1$ .
– La derivada de $h(x) = x^{1/2}$ con respecto a $x$ es $h'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2}$ .

5. Aplica la regla del producto:

$f'(x) = 1 \cdot x^{1/2} + x \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2}$

6. Simplifica la expresión:

$f'(x) = x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{1/2}$

Puedes combinar los términos similares para obtener:

$f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2}$

Método alternativo para calcular la derivada de x por raiz de x

Ahora vamos a calcular la derivada de $x \sqrt{x}$ efectuando primero el producto de las potencias de igual base que se obtienen a partir del paso 2 en el ejercicio anterior:

1. Inicia de la función original:

$f(x) = x \sqrt{x}$

2. Expresa la raíz cuadrada como potencia:

$\sqrt{x} = x^{1/2}$

Ahora la expresión se ve como $f(x) = x \cdot x^{1/2}$ .

3. Multiplica las potencias de igual base:

$f(x) = x^{3/2}$