Derivada de x^3/3

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Para calcular la derivada de $\frac{x^3}{3}$ , utilizaremos la regla de potencias. La regla de potencias establece que la derivada de $x^n$ con respecto a $x$ es $n \cdot x^{n-1}$ . Aquí están los pasos detallados:

1. Escribir la función:

$f(x) = \frac{x^3}{3}$

2. Aplicar la regla de una constante por una función:

$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{dx}(x^3)$

3. Derivar $x^3$ aplicando la regla de las potencias:

$\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$

4. Sustituir en la expresión original:

$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2$

5. Simplificar:

$f'(x) = x^2$

Por lo tanto, la derivada de $\frac{x^3}{3}$ con respecto a $x$ es $x^2$ .

Cómo calcular la derivada de x^3/3 usando la definición de la derivada:

Para calcular la derivada de $\frac{x^3}{3}$ utilizando la definición de derivada como un límite, aplicaremos la siguiente fórmula:

$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Donde $f(x) = \frac{x^3}{3}$ . Ahora, sigamos los pasos:

1. Escribir la función:

$f(x) = \frac{x^3}{3}$

2. Definir la expresión para la derivada:

$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{\frac{(x+h)^3}{3} - \frac{x^3}{3}}{h}$

3. Expandir y simplificar:

$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{\frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3}{3} - \frac{x^3}{3}}{h}$

4. Simplificar la expresión dentro del límite:

$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{3x^2 + 3xh + h^2}{3}$

5. Dividir cada término por $h$ :

$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{3x^2}{3} + \frac{3xh}{3} + \frac{h^2}{3}$

6. Simplificar aún más:

$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} x^2 + xh + \frac{h^2}{3}$

7. Evaluar el límite:

$f'(x) = x^2 + 0 + 0$

Por lo tanto, la derivada de $\frac{x^3}{3}$ con respecto a $x$ es $x^2$ cuando se calcula usando la definición de derivada como un límite.

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