Derivada de x ln x

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Para calcular la derivada de $x \ln(x)$ , utilizaremos la regla del producto y la regla del logaritmo. La función $f(x) = x \ln(x)$ es un producto de dos funciones. La regla del producto establece que la derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función, más la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función. La regla del logaritmo nos permite derivar el término $\ln(x)$ . Aquí están los pasos:

1. Escribir la función:

$f(x) = x \ln(x)$

2. Aplicar la regla del producto:

$f'(x) = (x \cdot \frac{d}{dx}(\ln(x))) + (\ln(x) \cdot \frac{d}{dx}(x))$

3. Derivar $\ln(x)$ :

$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$

4. Sustituir en la expresión original:

$f'(x) = (x \cdot \frac{1}{x}) + (\ln(x) \cdot 1)$

5. Simplificar:

$f'(x) = 1 + \ln(x)$

Por lo tanto, la derivada de $x \ln(x)$ con respecto a $x$ es $1 + \ln(x)$ .

Derivada de x ln x usando la definición de derivada:

La definición de la derivada de una función $f(x)$ en un punto $a$ es:

$f'(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

Paso 1: Utilizamos la función $f(x) = x \ln x$ y el punto $a$ .
Paso 2: Sustituimos en la definición de la derivada:

$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{(x+h)\ln(x+h) - x\ln x}{h}$

Paso 3: Expandimos y simplificamos la expresión:

$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{x\ln(x+h) + h\ln(x+h) - x\ln x}{h}$

Paso 4: Factorizamos y simplificamos términos semejantes:

$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{h(\ln(x+h) - \ln x) + x(\ln(x+h) - \ln x)}{h}$

Paso 5: Continuamos simplificando la expresión:

$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} (\ln(x+h) - \ln x) + x\frac{\ln(x+h) - \ln x}{h}$

Paso 6: Utilizamos la propiedad del límite:

$f'(x) = \ln x + x\lim_{{h \to 0}} \frac{\ln(x+h) - \ln x}{h}$

Paso 7: Resolvemos el límite restante:

$f'(x) = \ln x + x\frac{d}{dx}(\ln x)$

Paso 8: Derivamos $\ln x$ con respecto a $x$ :

$f'(x) = \ln x + x \cdot \frac{1}{x}$

Paso 9: Simplificamos el resultado final:

$f'(x) = \ln x + 1$

Por lo tanto, la derivada de $x \ln x$ utilizando la definición de derivada como un límite es $\ln x + 1$ .

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