Derivada de sec^2x (Secante al cuadrado) paso a paso con 2 métodos diferentes

La derivada de la $\sec^2(x)$ la podemos calcular siguiendo diferentes vías y en todos los casos debe emplearse la regla de la cadena, te explicaré en primer lugar la más frecuente:

Claramente se trata de una potencia donde la base es $\sec(x)$ , podemos entonces aplicar la regla de las potencias y al tratarse de una función compuesta, deberemos agregar la derivada de la base, así:

$\frac{d}{dx}(\sec^2(x)) = 2\sec^{2-1}(x)\frac{d}{dx}(\sec(x) )$

Simplificando y aplicando la regla de la derivada para la secante, tenemos:

$\frac{d}{dx}(\sec^2(x)) = 2\sec(x)\sec(x) \tan(x)$

Agrupando:

$\frac{d}{dx}(\sec^2(x)) = 2\sec^2(x)\tan(x)$

Así obtenemos que la derivada de $\sec^2(x)$ es $2\sec^2(x)\tan(x)$

Método alternativo para calcular la derivada de sec^2(x)

Claro, la derivada de $\sec(x)$ se puede calcular utilizando la regla de la derivada de la secante, que establece que la derivada de $\sec(x)$ es $\sec(x) \tan(x)$ . Dado que $\sec^2(x) = \sec(x) \cdot \sec(x)$ , podemos utilizar la regla del producto para encontrar la derivada de $\sec^2(x)$ :

$\frac{d}{dx}(\sec^2(x)) = \frac{d}{dx}(\sec(x) \cdot \sec(x))$

Aplicando la regla del producto, obtenemos:

$\frac{d}{dx}(\sec(x) \cdot \sec(x)) = \sec(x) \frac{d}{dx}(\sec(x)) + \sec(x) \frac{d}{dx}(\sec(x))$

Utilizando la regla de la derivada de la secante, la derivada de $\sec(x)$ es $\sec(x) \tan(x)$ . Sustituyendo esto en la expresión anterior, obtenemos:

$\frac{d}{dx}(\sec(x) \cdot \sec(x)) = \sec(x) \cdot \sec(x) \tan(x) + \sec(x) \cdot \sec(x) \tan(x)$

Agrupando términos semejantes y simplificando, obtenemos:

$\frac{d}{dx}(\sec^2(x)) = 2\sec(x) \tan(x) \sec(x) = 2\sec(x) \tan(x) \sec(x)$

O lo que es lo mismo:

$\frac{d}{dx}(\sec^2(x)) = 2\sec^2(x)\tan(x)$

Por lo tanto, la derivada de $\sec^2(x)$ es $2\sec^2(x)\tan(x)$ .

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