Derivada de una raíz [Con ejercicios resueltos paso a paso]

Dentro de las diferentes reglas de derivación para diferentes funciones nos encontramos con una muy particular como es la derivada de una raíz.

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Derivada de una raíz

Al derivar una raíz se pueden presentar dos casos:

Caso 1:

$\sqrt{x}' =\frac{X'}{2\sqrt{x}}$

Caso 2:

En el caso de raíces enésimas, se transforman estas a potencia y se cumple:

$\sqrt[n]{x} =n.x^{n-1}.x'$

por ejemplo;

$f(x)=\sqrt[3]{x}$

$f(x)'=\frac{1}{3}.(x)^{\frac{1}{3}-1}.(x)'$

$f(x)'=\frac{1}{3}.(x)^{\frac{-2}{3}}$

Ejercicios de derivada de una raíz.

Para su mejor comprensión resolveremos algunos ejercicios:

Ejercicio 1.

$f(x)=\sqrt{x+8}$

aplicando el caso 1;

$f(x)'=\frac{(x+8)'}{2\sqrt{x+8}}$

$=\frac{(1)}{2\sqrt{x+8}}$

Ejercicio 2.

$f(x)=\sqrt[5]{x^{2}}$

aplicamos el segundo caso;

$f(x)'=\frac{1}{5}.(x^{2})^{\frac{1}{5}-1}.(x^{2})'$

$=\frac{1}{5}.(x^{2})^{\frac{-4}{5}}.(2x)$

$=\frac{1}{5\sqrt[5]{x^{8}}}.(2x)$

Ejercicio 3.

$f(x)=(\sqrt{Sen(x)}+\sqrt[3]{Cos(x)})$

$f(x)'=(\sqrt{Sen(x)}'+\sqrt[3]{Cos(x)}')$

$=\frac{Sen(x)'}{2\sqrt{Sen(x)}}+\frac{1}{3}.Cos(x)^{\frac{1}{3}-1}.(Cos(x)')$

$=\frac{Cos (x)}{2\sqrt{Sen(x)}}+\frac{1}{3}.Cos(x)^{\frac{-2}{3}}.(-Sen(x))$

$=\frac{Cos (x)}{2\sqrt{Sen(x)}}-\frac{Sen(x)}{3\sqrt[3]{Cos(x)^{2}}}$

Ejercicio 4: Derivada de una raíz cúbica:

Dada la función $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ , vamos a encontrar su derivada.

La función dada es $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ , y la variable independiente es $x$ .Para derivar funciones con raíces cúbicas, podemos aplicar la regla de la cadena. La derivada de $\sqrt[3]{u}$ es $\frac{1}{3u^{2/3}} \cdot u'$ , donde $u'$ es la derivada de $u$ .

En este caso, $u = x^2$ , entonces la derivada de $f(x)$ sería:

$f'(x) = \frac{1}{3 \cdot (x^2)^{2/3}} \cdot (2x)$

Simplificamos un poco la expresión

$f'(x) = \frac{2x}{3 \cdot x^{4/3}}$

Simplificamos un poco más

$f'(x) = \frac{2}{3x^{1/3}}$

Entonces, la derivada de $f(x)$ es $\frac{2}{3x^{1/3}}$ .

Ejercicio 5: Derivada de la raíz cuadrada con división

Dada la función $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2}$ , vamos a encontrar su derivada.

La función dada es $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2}$ , y la variable independiente es $x$ .Usaremos las reglas de derivación para funciones que implican raíces cuadradas y divisiones.

ecordemos que la derivada de $\sqrt{u}$ es $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ y que la derivada de $\frac{1}{u}$ es $-\frac{u'}{u^2}$ .

En este caso, $u = x$ , y la derivada de $f(x)$ será:

$f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot x^2 - \sqrt{x} \cdot 2x}{x^4}$

Simplificamos

$f'(x) = \frac{x - 2x\sqrt{x}}{2x^4}$

Factorizamos

$f'(x) = \frac{x(1 - 2\sqrt{x})}{2x^4}$

Entonces, la derivada de $f(x)$ es $\frac{x(1 - 2\sqrt{x})}{2x^4}$ .

Ejercicio 6:

$f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}$

Aplicamos la regla de la cadena y derivamos la primera raíz con la propiedad que explicamos arriba:

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}\cdot\left ( x+\sqrt{x+\sqrt{x}}\right )'$

Calculamos la derivada la suma que nos resultó y calculamos de una vez la derivada de x que es 1:

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}\cdot\left ( 1+\left (\sqrt{x+\sqrt{x}}\right )'\right )$

Ahora calculamos la derivada de la segunda raíz aplicando nuevamente la regla de la cadena:

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}\cdot\left ( 1+\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}\left (x+\sqrt{x}\right )'\right )$

Nuevamente calculamos la derivada de la suma y calculamos de una vez la derivada de x y la derivada de la raíz:

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}\cdot\left ( 1+\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}\left (1+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right )\right )$

Podemos hacer algunas simplificaciones, aplicamos primero la propiedad distributiva en el último paréntesis:

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}\cdot\left ( 1+\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\frac{1}{4\sqrt{x+\sqrt{x}}\cdot \sqrt{x}}\right )$

Sumamos las primeras dos fracciones algebraicas que aparecen en el paréntesis que nos queda:

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}\cdot\left ( \frac{2\sqrt{x+\sqrt{x}}+1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\frac{1}{4\sqrt{x+\sqrt{x}}\cdot \sqrt{x}}\right )$

Ahora sumamos las 2 fracciones que nos quedan dentro del paréntesis:

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}\cdot\frac{2\sqrt{x}\cdot(2\sqrt{x+\sqrt{x}}+1)+1}{4\sqrt{x+\sqrt{x}}}$

Efectuamos las operaciones que nos resultaron:

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}\cdot\frac{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}+2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x+\sqrt{x}}}$

y finalmente multiplicamos las dos fracciones algebraicas que nos quedan:

$f'(x)=\frac{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}+2\sqrt{x}+1}{8\sqrt{x+\sqrt{x}}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}$

Derivada de una raíz